小学数学开放题的研究与实践

一、数学开放题的概念定位

（一）数学开放题的特征

数学开放题一般具有下列特征：

1、不确定性：所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解的题目。

2、探究性：没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。

3、非完备性：有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建。

4、发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论。

5、层次性：常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。

6、发展性：能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。

7、创新性：教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、合作者。

（二）数学开放题的分类

1、对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类；如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题。

（1）条件开放题

①请编一道应用题，算式为（20-4）÷2-8

②在括号里填上适当的数，使两个分数单位的和等于。这样的分数单位你能找出几对？

③58个苹果，拿出几个后，可以平均分到8个盘子中？

④在下面的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，请你画出一个多边形，使多边形的面积是2。

（2）策略开放题

①你喜欢用哪种算法（发表在《小学数学教师》2000年1-2期上）

你能用几种不同的方法来计算下列题目，并说说你最喜欢哪一种。

804-397（四、五年级）

25×4+25×4（四、五年级）

8.88×12.5(五、六年级)

24×（六年级）

②在算盘中，请你用一颗上珠和一颗下珠，表示出万以内的数。

（3）结论开放题

①像212从左往右读和从右往左读都一样的三位数（回文数）有几个？

②小明买钢笔和圆珠笔共用去54元，已知每支钢笔3元，圆珠笔2元，那么小明买了几支钢笔？几支圆珠笔？

③把24个边长为1cm的小正方形拼成一个大长方形，这个长方形的周长和面积各是多少？

④“五一”长假期间，宁波青年旅行社组织了35名游客去“五龙潭”游玩，由一名导游带领。五龙潭入口处的“购票须知”写道：“每人凭票进门。儿童、成人一律每张30元，40张开始可以享受团体八折优惠”。导游买票时付给售票员1000元，你认为够了吗？请用数字知识来说明你的观点？

（4）综合开放题

①如果校园里有一水池，请估计水池中有多少立方米水？

②去十字路口，在10分钟内（或一定时间内）统计来往车辆的情况，而后能否对建立“红绿灯”问题提出你的想法和方案？

③调查菜价（六年级）（发表在《小学数学教师》2000年1-2期上）

去当地菜场调查一周内主要几种菜的价格变化情况，完成下面这张统计表（可以任意选定五种，分上午7：00左右，下午4：30左右两个时间去调查），然后思考下面问题：

㈠根据你调查的结果，你能提出哪些问题？

㈡根据调查的结果，你有哪些建议？

_____________菜场五种菜价格表 __月__日～__月__日

2、从开放题答案的开口情况出发，数学开放题可以定量地分成三类：弱开放题──答案情况（包括可能情况）只有两种的开放题；中开放题──答案情况（包括可能情况）超过两种，但为数目确定的有限种；强开放题──只能给出部分答案情况，答案情况（包括可能情况）总数难以确定的开放题。

我们将数学问题的开放程度简称为开放度，对于事物的“度”，我们总期望能给予定量表示，“度”的问题只有进行量化表达时才能得到比较成熟的分析，才能从模糊走向精确，将数学问题（包括封闭题）的全体看为一个集合，我们能否建立这个集合到某个数集（比如自然数集N）的一个映射，将开放度定量化？容易想到用答案情况（包括可能情况）的个数来表示数学问题的开放度，照此我们可将封闭题看为开放度为1的数学问题，弱开放题的开放度为2，中开放题是开放度为定值n（n∈N，n≥3）的开放题，而强开放题则是开放度为未知数x的开放题，x随着思考主体对问题答案不同角度、不同层次的理解和要求可能会有所变化。

（1）弱开放题（n=2）

①把4个棱长为5cm的立方体拼成一个大长方体，它的表面积是多少？

②两个自然数的最大公约数是5，最小公倍数是30，那么这两个自然数分别是几？

（2）中开放题（n≥3）

①在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的A、B两地出发，小明每分钟行200米，小刚每分钟行300米，多少时间后，两人相距5千米？

②在1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，哪些数能组成比例，组成怎样的比例？

②在，3，0.8，，4.8，2，中，选出合适的数组成比例：（ 　　　　　　）。

③立方体的表面展开图有几种？

（3）强开放题（n=x）

①有一块边长为10米的正方形的空地，现在要在空地上设计一个花坛，使花坛的面积是空地面积的二分之一，问如何设计。

②请调查你所在地方各种房子的价格，想一想为什么价格有差异？你觉得买哪一类房子比较便宜？

3、数学开放题从单纯的适用年级来看，还可以分为一年级数学开放题、二年级数学开放题……

（三）数学开放题的概念定位

对于开放题的分类讨论，有助于理解开放题的概念，有助于把握问题的开放度，有利于教师把握一个数学开放题是否适用于课堂教学，或者有利于教师改变开放题的设问方式以帮助课堂教学，或者有利于考试评分的可操作性与公平性。

综上分析，笔者认为，数学开放题是具有一定现实背景的、解答途径没有固定模式可循的数学问题。具体：

1、在数学开放题中，往往是条件不确定或结论不确定，它有时可以是因条件不确定导致结论不确定，有时还可以是因结论不确定而导致条件的不确定；

2、从数学问题的开放度来描述，数学开放题的开放度应是n≥2；

3、数学开放题要求学生用已学的知识和数学思想方法，通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，重在对学生分析问题、解决问题和创新意识的培养。

二、数学开放题的设计策略

从数学教学的内部来看，任何一本数学教材包含有三个方面的内容：关于概念定义的内容，关于命题定理的内容，关于例题习题（统称为数学题）的内容。数学题的作用首先表现在帮助学生熟悉和掌握数学知识，发展学生的智能，由于教育选拔功能的需要，数学题的作用还表现在评价学生的学业成绩上。因此，数学题就自然成为数学教学的中心，“问题是数学的心脏”，“问题解决是数学教学的核心”正是数学题重要性的体现。现行中小学数学教材中的数学题绝大多数是封闭题，数学题的特征决定了它的功能，进而决定了它的教育价值。实践表明封闭题已不能完全满足数学素质教育的要求，所以，研究设计数学开放题并用之于数学教学具有特别重要的现实意义。、掌握开放题的一些设计方法，是数学教师应该具有的一项重要教学技能。

数学开放题的设计，可以从以下两方面考虑：

1、选材开放

审视目前的小学数学教学，教材中出现的例题是已经经过处理的数学问题，学生做的习题也是人为编制的可以套用现成公式、模仿例题的各种练习。学生在练习时不需要考虑这些问题的来源和作用，更不需要应用数学知识去解决现实生活中的各种问题。学生在长期的、反复操作的数据符号前，会产生乏味、厌学的情绪，久而久之就有可能形成对数学恐惧的心理。由此，数学习题的选材，应由封闭走向开放。它不仅可以来自教材，也可来自学生、来自生活，让学生在亲切、熟悉的情感体验中感受到数学的意义。

①创设生活情境

数学是对客观世界数量关系和空间关系的一种抽象。因此，在教学中一方面要尽可能让抽象的数学概念在生活中找到原型，另一方面要创造条件，促使学生能把学到的数学知识去解决一些日常生活中有关的数学现象，并能初步解决一些有关的数学问题。

例如：笔者曾经在教学“乘法应用题和常见的数量关系”前，创设了这样的生活情境：

小芳家开了一个小商店，小芳正替爸爸站柜台卖东西，来了一位叔叔。

叔叔：小朋友，我买4支铅笔，2个篮球，4千克糖。

小芳：铅笔每支4角，篮球68元1个，糖每千克12元。

叔叔：一共要付多少钱？请开张发票。

这样的习题，可以使学生在生活经验数学化、数学知识实践化的过程中感受到，数学就在我们的生活中。

②利用学生的学习成果

教师要善于利用学生的学习成果，这一方面是指上课的题材尽量来自学生。例如教学两位数减一位数的退位减法，可以先出示若干数字，让学生自由选择其中的三个数组成两位数减一位数的题目，并将这些题进行分类，然后引导学生在比较中讨论退位减的方法。这样的题材，不是来自教材而是来自学生，这会使学生感到更加亲切更能激起学生积极参与、主动探求的欲望；另一方面，是指教学的题材可利用课堂上学生解题中所发生的错误。例如，鄞江镇6个村计划栽树6000棵，实际每个村平均栽树1200棵。全镇比计划多栽树多少棵？有学生解为：1200-6000÷6，教师可以请学生就他的列式来改编题目，学生在错和对的对比之下学习，记忆会更加深刻。

③改编课本上的封闭题

相对于数学开放题而言，小学数学的习题中，大量是常规题，这种题条件完备，答案固定，称之为封闭题。有时一道传统的封统题，稍加改造就成了一道开放题了。

例如⑴：浙教版第十册P101第12题，王师傅3小时做29个机器零件，方师傅5小时做48个同样的零件，谁做得快些？我们只要把问题改成：“你认为哪一位是老师傅？为什么？”这道题就变成了一道“开放题”了。

例如⑵：浙教版第十一册P122第1题，指出下图圆的直径和半径。

如果我们把它改为：下图是一张圆形纸片，图中画有一条线段，请你想办法判断这条线段是否是所在圆的半径？这就成为了一道非常好的开放题了。

④以身边的事例为背景

人们在日常生活中经常接触到的是一些平凡的事物。如果我们能以数学的眼光对这些看似平凡的事物进行审视，就可能发现一些有趣的规律性的东西，以此为背景，编制出一些富有启发性的数学“开放性应用问题”，就能促使学生体会到“处处留心皆学问”的道理。

例如1.笔者从前段日子电视上了解到了全国大红鹰杯电视歌唱大赛的比赛情况，受此启发编出了“请你当评委”（五年级）的数学开放题。（发表在《小学数学教师》2000年1-2期上）

请你当评委（五、六年级）

学校组织校园歌曲独唱比赛，6个评委给③号选手打的分数分别是：

⑴假如你是第七位评委，会给③号选手打几分？为什么？

⑵你打的分数若不影响③号选手原先的名次，应该给他打几分？说说你的理由。

同样，笔者针对上几次宁波发行体育福利彩票的有关事例，编拟了“彩票问题（六年级）”的数学开放题：（发表在《小学数学教师》2000年1-2期上）

彩票问题（六年级）

宁波市去年年底发行体育福利彩票，彩票面额每张2元，中奖后资金情况见下页表。

⑴小庄在12月24日那天，先后摸了10张彩票，你猜她可能付出了几元钱？说说你的理由。

⑵若本次奖金总额是发行额的42%，则至少卖出多少张彩票才能兑现这表中的奖金？

⑶从这张表格中，你能了解到哪些信息？

其实只要我们有心，身边的许多事例都可以用来作为编拟开放题的材料，这也验证了一句话“生活中处处有数学问题”。

⑤择“洋题”为中用

在国外的一些数学“应用问题”资料中，可以挑选一些适合我国国情和符合我们的《课程标准》要求的题目，以供我们教学时借鉴使用，这也丰富了“数学开放题“的来源。

其实，许多的“数学开放题”都是从国外翻译、改编而来，例如：《小学数学教师》近几年来每期基本上都刊登有李至文老师编译的开放题。

2、设计开放

①条件开放

传统的练习设计，条件是所求问题的充要条件，容易给学生造成思维的定势。当遇到条件不足或条件有余时，感到束手无策或疑惑不解，设计条件开放的开放题，可以提高学生分析问题、解决问题的能力。

条件开放题，可以有少用条件、多余条件、比常规少了条件、缺条件（补条件）、图文条件等。让学生在审题时，摄取必要的条件，不用或少用一些条件创造性地运用条件去解决问题。例如：少年宫美术组有24人，航模组比美术组少6人，书法组的人数是美术组的3倍，美术组和航模组一共有多少人？通过分析可知书法组的人数是美术组的3倍条件多余；再如：一块长方形菜地，长100米，因建养鸡场需要，在这块地的一端划出一块最大的正方形地做养鸡场，剩下地的四周围上篱笆，篱笆长多少？表面看来似乎条件不足，进一步分析便可发现篱芭的总长实际就是菜地长的2倍。

引导学生从众多的已知条件中排除表面现象的干扰，抓住问题的本质，高效、简洁地解决问题，能促进学生思维深刻性的发展，提高他们创造性地解决问题的能力。

②问题开放

学生学习上的差异，使他们在利用已知信息进行分析时，能发现并提出多种多样的问题。设计问题开放的开放题，有助于贯彻因材施教的原则，充分发展学生的个性特长，做到面向全体学生，使每个学生都得到发展。

问题开放题，在解决形式上可有解答式问题、问答式问题、图表式问题；在答案方面，可有唯一答案、多种答案、“不存在”答案等。例如：在□里填上合适的数：

一般学生能根据商十位商0和个位商7得出被除数的十位是5，个位是6；思路相对活跃的同学能从余数不确定得出个位也可能是7（8、9……）；分析能力较强的同学能归纳出被除数的后两位可从56起填到63。这样的练习，一方面给每个学生提供了获得成功的机会，促进了不同程度的学生都得到提高和发展；另一方面，也为学生提供了发散的空间，培养了学生思维的发散性和深刻性。

③策略开放

习题解答，除了让学生学会常规的解题方法之外，还要让学生学会多方位、多角度地解决问题，并从中发现最有效的解决问题的方法，促进学生思维广阔性、灵活性、创造性的发展。例如：分子、分母都不相同的两个分数比大小，便可打破“先通分”的常规，寻求最佳的解题策略。你能用哪些方法来比较和的大小？

方法⑴：把和化成同分母分数来比较。

⑵：把和化成同分子分数来比较。

⑶：和1进行比较

⑷：把分数扩大成整数后进行比较

⑸：用倒数进行比较

总之，在教学中，要鼓励学生从多角度思考，大胆创新，不要局限于常规和固定模式，开拓思路，以促进思维创造性的发展。

④综合性开放

学生是社会的成员，学生以后都是面向综合的复杂的社会，因此，习题设计也应有综合性的，可以集其它学科相关知识于题中，也可以集本学科相关知识于题中。例如学完平面图形知识以后，可设计这样一题让学生研究：把校园内的一块长100米，宽80米的长方形空地设计成一个花园，其中要有圆形、方形、菱形等面积不等的花地、草坪。要求：⑴花地、草坪、道路所占面积比例适中；⑵图案美观。这样的习题打破了人为训练的目的，又能培养学生的数学素质。

从学生的学习生活和熟悉的事物中收集材料，设计成各种形式的数学开放性问题，意在开放学生的思路，开放学生潜在的学习能力，开放性数学问题给不同层次的学生学好数学创设了机会，多种解题策略的应用，有力地发展了学生的创新思维，培养了学生的创新技能，提高了学生的创新能力。

直接编拟数学开放题，特别是直接编开放性应用题，难度较大。如果对我们熟悉的大量封闭题进行改编，保留原题中的基本情境和一些现成构件，并根据形式逻辑的理论进行适当的加工改造，就能较容易地编出开放题。