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对数学新课堂中几个不严谨现象的分析思考

数学具有抽象性、严谨性和应用的广泛性这三个基本特点，作为数学的基本特点之一的严谨性指的是：在数学中，每一个定理、公式都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立，获得承认；数学的推理步骤严格地遵守形式逻辑诸法则，以保证从前提到结论的推导过程中，每一个步骤都是在逻辑上准确无误的。“数学鲜明地区别于人类的其他所有知识体系之处在于，它坚持从作为必要条件的、以阐明的公理出发进行演绎证明，得出可以被接受的结论。”^①正是数学的严谨性使数学在整个科学文化领域声名显赫。

然而，新课标引领下的数学课堂，虽然学生思维活跃，课堂活泼生动，但是，数学严谨的特性却逐渐被忽视，数学课堂中经常出现不严谨的现象。

现象之一：多样的解决问题的方法往往缺少相对应的信息。

小学数学人教版新课程中，新授内容往往伴随着主题图，许多相关的数学知识渗透在每一幅主题图中。教师指导学生从这些资源中选择一定的信息，提出数学问题，并围绕有价值的问题进行探讨。主题图的运用无疑是有效的，学生积极地参与了课堂教学活动，给数学课堂带来了勃勃生机。

但是，由于主题图信息的多样性，它在运用中却不尽完美。

人教版小学数学第四册解决乘加两步计算问题的教材中有这样一幅主题图：跷跷板乐园里，有三个跷跷板，每个跷跷板的两头分别坐着两个小朋友，周围还有七个小朋友在看。我曾听过几堂该内容的课，教学过程一般是这样的：

首先，在寻找信息的环节，学生会寻找到很多的信息，一部分为有效信息，一部分为无效信息。接着，教师选择“有三个跷跷板；每个跷跷板上有四个小朋友；还有七个小朋友在看”这三个信息，要求学生根据信息提出数学问题，最终解决“跷跷板乐园里一共有几个小朋友”这个有价值的数学问题。解决问题的过程中，一般最先出现的方法就是“3×4+7=19（个）”，也有学生分步计算：“3×4=12（个），12+7=19（个）”。接着，由于对多样化方法的倡导，学生又会出现“2×6+7”（跷跷板上的小朋友2个一组，有6组），“2×9+1”（所有孩子2个一组，还多1个），“4×5－1”（所有孩子4个一组，还少一个），“3×4+3+3+1”（看的小朋友分成3个、3个、1个三部分）等方法来解决这个问题。这些方法的出现，充分体现了学生作为学习主体的地位，学生思维的火花正在不断闪光。

但是，这些多样的方法是否符合数学解决问题的逻辑要求呢？让我们从问题的构成和解决来看。“构成问题的三个基本要素是：想要达到的目标，围绕目标的相关信息以及给定信息与目标之间的障碍。所以，解决问题实质上就是超越已知信息与问题目标之间的障碍，建立已知信息与问题目标之间联系的过程。”^②也就是说，任何数学问题的解决所运用的任何一种方法必须有相应的信息作为前提条件。换句话说，多样的方法的提出必须具备相应的信息。

然而在教学中，学生寻找到的信息虽然很多，对解决问题有用的信息却不多，经教师提炼后的有用信息则更少。上例在解决“跷跷板乐园里一共有几个小朋友”这个问题时，提出的多种方法中需要的很多信息是原来并未找到的。例如，用“2×6+7”的方法就必须有这几条信息：“每个跷跷板的每一头坐着2个小朋友；三个跷跷板共有6头；有7个小朋友在看”这三条信息。而“3×4+3+3+1”这种方法则更是把看的小朋友分成了3个、3个、1个这样三份。这里就存在着这样的问题：学生在解决问题的过程中用到了并不曾寻找到的信息，也就是说，他解决问题的方法从严格意义上来讲是错误的，因为他的方法没有前提条件。但是，由于建设开放性课堂的需要，教师却在课堂教学中或多或少地鼓励着这种“错误的多样化”,这显然是不可取的。作为教师，在培养学生解决问题方法多样化能力的同时，一定要强调方法必须以已知的信息，也就是条件为前提。因为，离开了解决问题所需要的前提条件，数学问题的解决就好比是空中楼阁，经不起推敲。

不只是主题图，其它的情景图，或是各种数学信息的选取中，也会出现类似的问题。在一堂二年级的数学课中，教师出示“玩具汽车29元、足球47元、玩具火车头24元”这三个信息，要求学生在这些信息中选择需要的信息并提出问题。有一个学生提出了“一个足球比一辆玩具汽车贵18元，玩具汽车29元，足球要几元？”这个问题。该生在已知信息“足球47元、玩具汽车29元”中求出一个新信息“一个足球比一辆玩具汽车贵18元”，再用这个新信息和其中一个已知信息“玩具汽车29元”组成条件反过来去求已知信息“一只足球47元”。很明显，这是不符合题意的。这样的学生很聪明，可往往容易聪明反被聪明误。面对这样的回答，教师在赞赏学生会动脑的同时，也必须指出他的错误所在。但是，在赏识教育的理念下，我们听到的只有掌声。

现象之二，多样的方法在形式多样还是本质多样上区别不清。

在开放性的课堂中，问题的解决方法变多了，学生解决问题的方法有时候连教师也不曾想到过。排除信息不够完整的解决方法，多样化的方法经常会呈现出下面几种形式：分步或综合、交换位置、算术法或方程法等。那么，这些正确的解决方法是否是真正意义上的多样化呢？

例如，在解决上述“跷跷板乐园里一共有几个小朋友”这个问题的许多方法中，有这样两种方法：“3×4+7=19（个）”、“3×4=12（个），12+7=19（个）”，这两种方法的思维过程都是“先求出三个跷跷板上有几个小朋友，再求出跷跷板乐园一共有几个小朋友”。它们只是表达形式的不同，是分步列式解决和列综合算式解决的不同。又如在《最小公倍数》这一内容的教学中，也会出现类似下面的情况。教师要求学生尝试求6和9的最小公倍数，然后选择了不同的方法板书到黑板。方法一，从小到大列举出6和9的倍数，找到第一个公有的倍数，也就是最小公倍数18；方法二，相交集合表示6和9的倍数，找到最小公倍数18；方法三，用短除法求解，得到3×2×3=18。这里，方法一和方法二也只是同一思维的不同表现形式。

除了表现形式不同的方法之外，有的多样化方法也只是思维次序的不同。如解决“一辆公共汽车上原来有23个人，车到站了，下车8人，上车11人，现在公共汽车上有几人？”这样一个问题，有下面两种解决办法：“23－8+11”、“23+11－8”。尽管这两种方法暴露出的思维过程是不同的，但是，这两种方法没有思维本质的不同。在现代城市的无人售票公交车上，上下车是同时进行的，只不过数学出于表达的需要，必须安排出先上还是先下的次序，才能保证计算的顺利进行。这类多样化方法，归类为算法多样化更为合适。

其实在低段的解决问题教学中，由于信息的单一，解决问题的方法也比较单一。如求“跷跷板乐园的人数”这一问题，如果不再提炼新的信息的话，只有“4+4+4+7”这种方法与“4×3+7”的方法属于异质思维产生的多样化方法。作为教师，在认可那些多形式的解决方法的同时，要分清所谓多样化的方法究竟是思维本质的不同还是仅仅是同一思维的不同表现形式，多肯定异质的多样化思维。但是，在课堂中，这些思维层次不同的方法得到的评价一般都是单一的，雷同的。试想，如果异质思维产生的解决问题的方法不能得到更为有效的激励，学生的创新能力又如何能得到更好的发展？

现象之三，教师或教材提供的教学素材也会存在设计上的不严密。

还是上面提到的“跷跷板乐园”主题图，这幅主题图针对二年级乘加两步计算解决问题的教学内容，它不是严格的对应。因为，主题图中没有“4”，只有“2+2=4”或“2×2=4”（每个跷跷板有2头，每头坐2人），正确的方法就应该是“2×2×3+7”或“（2+2）×3+7”。当然，如果把在前面看的小朋友分成几份看待，方法还会更多。可见教学内容要求学生掌握的“4×3+7”这个方法中的“4”已经是对两个信息的综合而得出的结果了。也就是说，从主题图所提供的信息看，它至少也是一个需要三步计算解决的问题。

同样是上面乘加两步计算解决问题的教学内容，有教师创设了一个情景图：两把椅子，每把椅子四只小蚂蚁抬；7面旗子，每面旗子一只小蚂蚁扛。根据情景图提供的信息，抬椅子的小蚂蚁的只数是“4×2=8（只）”，那么，扛旗子的小蚂蚁的只数也应该是“1×7=7（只）”，解决“一共有几只小蚂蚁”的方法应该是“4×2+1×7”，这样，这个问题也不知不觉地被转化成一个需要三步计算解决的问题。而这位教师虽然改进了教材的不足，自己却又跌入了数学的陷阱。

在这里，无论是教材的主题图，还是教师自己设计的情景图，它们都没有与该堂课的教学内容相对应。套用语文的方法，一篇文章一定有一个中心，数学的教学设计也必须有一个中心，教师应把握住这个中心，也就是教材所设定的教学目标，设计符合教学意图的情境。

上述种种现象在新课堂中经常可见。事实上，本文列举的只是新课堂中存在的几个普遍的也是相对突出的问题，而课堂上的小问题则更多。王杰观、胡风玲老师在《加强数学语言的教学》一文中的一组数据很能说明问题：“一年多来，先后听了68节数学课，据统计，有知识性错误的有38节，约占56%”^③

数学课堂的不严谨对学生今后的发展是不利的，带给学生的影响也是不可逆的。虽然，在教学中出现这样的问题不会影响当堂课的教学效果，因为每堂课的学习是以数学知识技能的学习为载体的，这些问题和学生所学的知识技能没有什么矛盾，不会产生负面影响，甚至对学生以后一个月或是一学期的学习也不会产生影响。但是，它必定会给学生的后续发展带来影响。“心理学的研究表明：先前学习知识的过程中所形成的一种强烈的心理倾向，对后来的学习知识往往起严重的妨碍作用。”^④刚入中学的孩子学习数学一般存在的推理不严、思考不缜密等问题与小学数学教育不够严谨不无关系。有的孩子小学数学成绩很好，到了初中却下滑了，很大原因是他在小学学习时建立的数学体系是不严谨、不系统的体系，从而对接受中学数学这样一个需要严密推理论证的体系起到了妨碍的作用。

如果用量变和质变来形容义务教育新课程三个学段的课程内容的变化，那么，第一学段到第二学段的内容变化是以量变为主，而从第二学段到第三学段则有更多质的飞跃。例如，在“数与代数”这个内容中，第一学段包含有“数的认识”、“数的运算”、“常见的量”、“探索规律”四部分内容，第二学段较第一学段在内容上只有一个改变，就是“常见的量”变为了“式与方程”，这两个学段的内容虽然有所不同，但都偏向于“数与代数”中的“数”，而第三学段的三个内容“数与式”、“方程与不等式”、“函数”却是以“代数”为主了。学生在以“数”为主的数学学习中，需要解决的问题有着“数”这个实体的依托，问题解决的正确与否可以借助实在的“数”来判断，一定程度上可以弥补思维不严谨的不足。然而，在“代数”的学习中，解决“代数”问题几乎没有任何实体依托，完全靠严密的推算一步一步解决，这样的任务，对于没有严谨的数学思维的孩子来说，是很难完成的。

数学课堂的不严谨不但对学生中学数学的学习不利，而且对学生的终身发展也是不利的。因为，学生学习数学并不只是学习数学的知识技能，并且学得的这些技能将来应用与生活和工作的机会也不多。就如日本数学教育家米山国藏所说的：学生在进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到一二年就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用。^⑤而严谨性正是数学精神的重要组成，数学因为严谨而被信任，因为严谨而被尊重，失去了严谨，数学也就失去了支撑的骨架，空有一堆形式的符号。

事实上，数学教学内容是一直与数学的严谨性相伴的。作为小学数学课程内容的“商不变性质”、“分数的基本性质”等都伴有“零除外”的附加条件；在研究“数的整除”中也把“非零自然数”作为研究的前提；对平行线的定义，除了“不相交”之外，还有“在同一平面”的前提；新课程教材中统计、概率、对称等内容也都渗透着数学的严谨有序性。更为重要的是，新课标在情感态度价值观这一维度的目标中明确提出了“感受数学的严谨性以及结论的确定性”的目标。

那么，是什么使得数学新课堂失去了本该有的严谨性呢？首先，这和教师缺乏对新课标的自主理解，盲目跟随教育新思潮造成的。新课标是一个完整的体系，但如果把其中的几点特别强化，新课标也就走味了。新课标针对原先数学课堂教学的封闭性教学而提出开放性教学，并不是说所有的数学内容都要开放性教学；新课标针对原先单一算法而提出算法多样化也仅是允许学生有自己的算法，不是必须要算法多样化；新课标针对原先只重结果的教学提出让学生经历问题解决的过程，并不是说只要过程就够了。而严谨教学这个我国数学教学的传统，在一系列新理念的冲击下，悄然退居其后了。其次，和教师自身的数学素养有关。在开放式课堂中，留下一个开放的问题并不难，但是，迅速地对学生的回答做出反应，并把它们正确地纳入数学的逻辑体系，却是很多教师欠缺的。同样，设计一个吸引学生的情境也已不是难题，但是，设计的情境就切合教学意图，切实帮助学生学习数学来说，则又有所欠缺。在上述几个例子中，有的教师注重了开放的过程和结果，有了各种多样的解法，而教学目标达成的过程却显得模糊了；有的教师没有把握住教学目标，而使自己的教学设计脱离了教学目标，他们都或多或少地存在着对数学严谨性认识和把握不够，造成数学教学的不严谨。

爱因斯坦说过：“为什么数学比其他一切科学受到特殊尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某中程度上都是可争辩的，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。”^⑥著名数学教育家弗赖登塔尔就把严谨性原则作为数学教学的基本原则之一，而很多数学教学论的著作则提出了严谨性与量力性相结合的原则。这里的量力量的不是教师的力，而是指“严谨性的要求应受学生可接受性的制约”。^⑦也就是说，在学生可接受范围内，我们的教学必须遵循严谨的原则。

总而言之，数学是严谨的，数学教育也应该是严谨的教育。作为教师，自己要有一个系统的能满足教学需要的数学体系，同时，在发展学生的多样思维建设开放课堂时，应该把学生的新异思维按其内在规律区别对待，纳入整个数学体系，维护数学的严谨性，让学生数学大厦的基础更为坚实。

注释：

①克莱因语。转引自：郜舒竹主编，数学的观念、思想和方法，首都师范大学出版社，2004，第279页。

②郜舒竹主编，数学的观念、思想和方法，首都师范大学出版社，2004，第311，312页。

③转引自王工一：数学教育新视野，浙江大学出版社，2006年，第150页。

④王工一：数学教育新视野，浙江大学出版社，2006年，第197页。

⑤徐斌艳主编，数学课程与教学论，浙江教育出版社，2003年，第141页。

⑥郜舒竹主编，数学的观念、思想和方法，首都师范大学出版社，2004，第119页。

⑦李求来、昌国良编著，中学数学教学论，湖南师范大学出版社，2006，第130页。