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20以内进位加法和退位减法新算法的提出

在一年级的数学教学中，二十以内进位加法和退位减法既是教学的重点，又是教学的难点。一般的孩子在幼儿园大班时就学会了十以内加减法，进入小学后，二十以内不进位不退位的加减法稍加练习也能熟练掌握。但是，孩子学习进位加法和退位减法就不是那么轻松了，部分学生的计算速度大大下滑，计算的准确率也降低了，两极分化初露端倪。有的学生由于计算速度跟不上，开始拖拉作业，成为数学学习困难者。

在一次20以内进位加法与退位减法的检测中，四年级44名智力正常的学生每做对一题的平均用时是3秒；最慢的学生每做对一题平均用时6.8秒，是速度最快的学生的6倍多；后9名学生每做对一题的用时5.6秒，是前9名学生的近3倍。可见，即使到了四年级，多数学生计算20以内进位加法和退位减法的速度还没能达到脱口而出的程度。

那么，到底是什么原因造成了孩子学习20以内进位加法以及退位减法的困难呢？

我认为，这和我们运用的计算进位加法和退位减法的算法有关。我查阅了原浙教版的教材以及人教版和北师大版的新课标教材，发现这几种教材所展示的算法不外乎数数法和数字推理法。数数法就是通过数数来计算，包括借助实物数数和单纯数数两种。数字推理法指的是包含凑十法、拆分法等的运用数字进行推算的方法。例如要算“9加6的和”，先算“10+6=16”，再算“16－1=15”，就是运用了数字推理的方法。新教材中有多种进位加法和退位减法的算法就是运用了各种数字推理的策略。

然而，数字推理法对学生的思维要求高，需要的思维步骤也多，并不利于学生熟练掌握最终到达脱口而出的地步。以运用最为广泛的凑十法为例，求9加3等于几，学生在解决问题之前就需要这几个思考过程：一、判定该题是不是进位加法；二、如果是进位加法，怎样才能凑成10。这样确定方法后才能进行下面的运算：

9+3

=9+（1+2）

=（9+1）+2

=10+2

=12

从上面的运算中可以看出，这是一个运用加法结合律进行简便计算的一个过程，而且属于不能直接运用题中数据，需要拆分才能进行简便运算的一类。所以，看似简单的凑十法，其思维是不简单的，包含着一系列逻辑推理过程，它的认知基础与一年级学生所具有的知识结构和思维能力之间存在一定的距离，一定程度上造成了学生计算的困难。

那么，怎样的方法才能更好地解决这一难题呢？我认为，用数的组成来教学20以内的进位加法和退位减法是一种可行而且有效的方法。

“数的组成法”是利用数的组成来计算“和是该数的加法和相应的减法”的方法。就是把一个数分成和是该数的两个数（0除外），穷尽所有的分法，并把这些分法罗列出来，让学生在理解的基础上诵读记忆，从而提高学生的计算速度。

“数的组成法”对于从事小学低段数学教学的老师来说可能不陌生，一般在教学“10以内的加减法”的时候用的就是数的组成法。例如教学“和是9的加减法”的时候都会让学生说一说：9可以分成1和8；9可以分成2和7；9可以分成3和6；9可以分成4和5。学生熟知了数的组成，计算速度比之数数法就有了很大的提高。

也就是说，我们在教学10以内的加减法的时候，运用数数法给学生搭了一级台阶后，就用数的组成法让学生熟练计算。例如3+4为什么等于7，让学生数一数就知道了；但是在计算时，却需要学生在大脑提取相关7的组成的信息，这样才能使计算更加迅速。那么，我们在教学20以内进位加法和退位减法的时候，同样可以采取这样的方法：先运用数数法或数字推理法为学生做好铺垫，然后用数的组成法来让学生熟练计算。

以11的组成为例，11有下面几种非零自然数的分法：11可以分成1和10，11可以分成2和9，11可以分成3和8，11可以分成4和7，11可以分成5和6。其中，11分成1和10是把11分成一个一位数和一个两位数，转换成加减法后不属于进位加法和退位减法一类，多数学生能熟练掌握；其它四组则是由两个一位数组成11，属于进位加法和退位减法一类，也是学生计算的难点，是数的组成法中要求学生重点掌握的。12至19的数也一样，如果分成一个一位数和一个两位数的组合，那么转化成的加减法不属于进位退位的一类；而如果分成两个一位数，转化成的加减法则一定属于进位加法和退位减法的一类。也就是说，在运用数的组成教学进位加法和退位减法的时候，我们只需要选择11至19各数的一位数组成。

在对11至19各数的进一步拆分中可以看出，随着数的增大，这些数的一位数组成的对数却越来越少。例如17只能分成8和9，18只能分成9和9，而19则不能由两个一位数组成，也就是说，不存在和为19的进位加法，或是被减数为19的退位减法。这样，在11至18各数的一位数组成中，11、12各有4组，13、14各有3组，15、16各有2组，17、18各有1组，一共20组，比2至10的组成还少了5组。而这20组，包含了20以内（不包括20）所有的进位加法和退位减法。也就是说，单从数量上看，学生掌握11至18各数的一位数组成是没有问题的。

那么，从11至18各数的组成中的每一组两个数的大小来看，是不是在一年级学生所能掌握的范围之内呢？

从日常经验可知，5、6个物体杂乱摆放，我们的大脑能立刻反映出准确的个数，但是7个以上的物体杂乱摆放，普通的成人也必须经过数的过程才能知道准确的个数。这是受注意力广度的限制。心理学研究表明，在1/10秒的时间内，成年人一般能够注意到6—8个排列不规则的黑点。儿童的注意力范围则更小。也就是说，7至10的加减法学生已经很难直接运用具体形象思维来解决，而需记忆力和逻辑推理能力的帮助。既然学生能借助记忆力和逻辑思维的帮助掌握7至10的组成，那么，只要给予适当的指导和一定的练习，学生同样能循序渐进地掌握11至18的一位数组成，因为组成的元素是一样的，都是一位数。只不过学习10以内数的组成的时候两个一位数加起来不超过10，而学习11-18各数的一位数组成的时候，两个一位数加起来超过了10。其实，这两部分内容合起来就是一位数加一位数的计算，只不过教科书中没有采用这种说法而已。

而一旦学生掌握了11至18的一位数组成，解决20以内进位加法和退位减法的思维过程也就等同于10以内的加减法的思维过程，计算速度就理所当然地得到提升了。

我们知道，在小学阶段的数的运算中，无论是多位数的加减乘除，还是小数、分数的计算，最基本的类别只有两类：一位数加一位数和一位数乘一位数。一位数加一位数中不进位的部分（也就是10以内加减法），多数学生能熟练掌握；一位数乘一位数因为有着乘法口诀的帮助，绝大多数学生也能脱口而出。而一位数加一位数中有进位和退位的部分对多数学生来说，还需要一系列思维过程才能得到计算结果，成为这部分学生学习后面的计算的拦路虎。而“数的组成法”改变了旧有的思维方式，从而解决了“进位加法和退位减法”这个计算上的难题。

可以说，“数的组成法” 是计算进位加法和退位减法的全新的思维方式，是学生加减法思维的一次重大变革。它将解决多数学生计算学习中的一个重大障碍，从此进位和退位只是计算中的一种表现形式，而无需原有的复杂的思维过程。这对提高学生计算速度，减低学生两极分化的程度，减少数学学困生的数量，减轻学生的学业负担都有着重要的意义。