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巴比仑人的记数法

　　巴比仑人用两种进位法：一种是十进制，另外一种是六十
进位。

　　十进制是我们现在普通日常生活中所用的方法，打算盘的
「逢十进一」就是基于这种原理。

　　巴比仑人没有算盘，但他们发明了这样的「计算工具」协
助计算（图一）。在地上挖三个长条小槽，或者特制有三个小
糟的泥块，用一些金属小球代表数字。

　　比方说：巴比仑城南的农民交来了 429 袋的麦作为国王的
税金，而城东的农民交来了 253 袋的麦。因此国王的仓库增加
了 429 + 253 = 682 袋粮食。我们用笔算一下子就得到答案，可
是巴比仑人却是先在泥板上的小槽上分别放上：4 个， 2 个，
9 个的金属球，这代表了 429。然后在置放 4 个金属球的小槽
上添加 2 个小球，中间槽上添加 5 个小球，最后的小槽上添加
3 个小球。

　　现在最后一列的小槽上有 12 个小球，巴比仑人就取掉十
个，在中间那个槽里添上 1 个小球－这也就是「逢十进一」。

　　最后泥板上的数字 682 就是加的结果。这不是很好玩吗？
（图二）我们可以利用这方法以实物教儿童认识一些大数的加
法。

　　六十进制制目前是较少用到，除了在时间上我们说：一小
时 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其它场合我们都是用十进制制。

　　可是你知道吗？就是古代的巴比仑人定下一年有三百六十
五天， 十二个月，一个月有二十九天或三十天，每七天为一个
星期，一个圆有三百六十度，一小时有六十分，一分有六十秒
等等，我们现代还是继续采用。

　　考古学家在一块长三又八分之一吋，宽二吋，厚四分之三
吋的泥板书上发现了巴比仑人的记数法。

　　这泥板的中间从上到下有像（图四）的符号：读者可以看
出这是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

　　这泥板书受到盐和灰尘的侵蚀，但可以看到泥板书的右边
前五行是形如：

很明显的这应该代表 10,20,30,40,50。

　　可是接下来的却是这样的符号：

　　　　
　　如果我们前面知道的符号是写成：

　　　　1         1,10         1,20         (缺三个)               2             2,10

　　这是什么意思呢？考古学家猜测那几个符号照上面10,20,30,
　　40,50的次序应该是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

　　是否那个 1 的符号也可以代表 60 呢？如果是的话那么 1,10
就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那个
将代表 2 × 60 = 120了。很明显 2,10是代表 120 + 10 = 130。

　　这样的猜测是合理的，由于巴比仑人没有符号表示零，而
他们采用的是 60 进位制，因此同样一个符号 可以代表 1 或 60。

　　没有零符号在记数上是很容易产生误会，比方说： 可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 60² + 0 × 60 + 20 = 3620。

　　到了两千年前巴比仑人才采用 表示零。

　　因此像 代表 2,3,0,41 即 2 × 60³ + 3 × 60² + 41 = 442841

　　从此巴比仑人小于 60 的数字的记数可以看出他们懂得「位值原理」。

巴比仑人怎样进行除法运算？

　　从一些泥板书里可以看出底下的对应。

　　如果你在现在的伊拉克的土地上发掘这样的泥板书，你能了解这是什么
意思吗？四十多年前考古学家发现这事实上就是巴比仑人的「倒数表」。我
现在把以上的表改写：

　　你可以看出这就是把整数 n 的倒数１／ｎ用六十进的分数来表示。比方说 27
对应 2,13,20意思就是：

　　你会注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
这是什么原因呢？

　　原来是这样：巴比仑人只列下以六十进制制的分数表示式是有限长的那些整
数，而这些整数只能是 2^a3^b5^c（这里a,b,c是大于或等于零的整数）的样子。

　　对于 7 来说，它的倒数如果是以六十进制数表示将得到循环分数，即 8,34,17,
8,34,17,....直到无穷。对于 11 也是如此，我们得到 5,27,16,21,49 然后重复以上的样
式以至无穷。

　　为什么要构造这样的「倒数表」呢？

　　我们在小学学计算：先学加，然后学减。先学乘，然后学除。如果现在要算
a ÷ b ，我们可以把这问题转化成为 a × ( )，这样只要知道 b 的倒数，我们就「化除为乘」，计算有时是会快捷一些。

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