摘要：数学课程改革如火如荼，信息技术发展方兴未艾，两者已成互动之势。通过信息技术与数学课程整合，可以改进学生的学习方式，加强对数学本质的认识；沟通知识内容间的联系，感受数学的整体性；推进课程内容深化；促进课程内容呈现方式的变化。
关键词：信息技术；数学课程；整合
以数字化、多媒化、智能化、网络化为代表的现代信息技术，正在改变人们传统的生活、学习和工作方式。以信息化带动教育现代化，教育信息化已成为社会信息化的重要组成部分，技术发展的趋势是不言而喻的。
《基础教育课程改革纲要（试行）》中明确提出：“大力推进信息技术在教学过程中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。” 许多学校、教师、学生在教学和学习过程中对信息技术的使用进行了有益的尝试，积累了一些经验，为信息技术在教学过程中的普遍应用奠定了基础。
随着《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）的颁布实施，有必要对《标准》中关于“信息技术”的阐述进行一些思考，因为它直接关系到教材编写、学生学习方式、教师教学方式以及评价方式的改进。
一、互动：信息技术发展与数学课程改革
1．信息技术发展
当前信息技术发展日新月异，信息技术的功能非常强大。从与数学课程有关的信息技术来看，信息技术工具主要包括科学计算器、图形计算器、计算机等；信息技术软件主要包括几何画板、TI（Texas Instruments）的APPS（Handheld Application Software ）、Z+Z智能教育平台、办公软件以及其他数学教育技术平台等等。有计算机环境下的，也有图形计算器环境下。从软件的功能看，它主要包括函数作图与分析系统、几何绘图系统、计算机符号代数系统、电子表格与数据处理系统、程序编辑、整合的网页浏览功能。
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功 能 |
内 涵 |
| 函数作图与分析系统 | 函数的解析式、图象、表格；函数的零点；给定任意区间上函数的最大值和最小值；函数在某点的切线及其方程；两个函数图象交点的坐标；函数图象局部放大和缩小等等。 |
| 几何绘图系统 | 以“几何画板”代表。通过基本的图形：点、线、圆画出几何图形，任意拖动图形、观察图形、猜想并验证。在观察、探索、发现的过程中，增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，有助于学生理解和证明。 |
| 计算机符号代数系统 | 加、减、乘、除、乘方、开方等运算；代数符号运算；解方程；三角函数化简；甚至包括极限、导数、积分等运算。 |
| 电子表格与数据 | 处理系统 基本的统计运算：平均数、方差等；用扇形图、直方图、条形图、折线图描述数据；确定数据的回归方程；对数据进行其他量化描述。 |
| 程序编辑 | 为处理某个问题编写小程序。 |
| 整合的网页浏览 | 通过网址或其他链结与互联网相联，直接浏览互联网上相关的信息、进行升级服务等等。 |
2．数学课程改革
《标准》是高中数学课程教材改革的主要依据。《标准》从课程改革的基本理念、内容标准、实施建议等方面对数学课程中的“信息技术”进行了阐述。比如，课程基本理念 9．注重信息技术与数学课程的整合中提出：“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合（如把算法融入到数学课程的各个相关部分），整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。”内容标准和实施建议中也有类似的阐述。从这些阐述中，我们不难发现，信息技术与数学课程整合方兴未艾，成为教材编写、教学、评价必须认真实施的问题。
3．互动：信息技术发展与数学课程改革
“互动”（interactive）是信息技术时代的时髦词、常用词，它的意义是是从事某种活动的双方互相影响，相辅相成。如果形象地表示信息技术发展与数学课程改革之间的关系，我们不妨用“互动”一词。一方面，作为技术（或软件）厂商总希望它的技术（或软件）能够整合尽可能多的数学知识内容，现在一些技术（或软件）功能非常强大，像TI-92Plus图形计算器，基本上能做从小学算术到大学微积分的所有数学，它的出现必然对传统的数学课程内容、学习、教学产生巨大的冲击，从这一点来说，技术带着数学动，你不能忽视它的存在，更不能忽视它对数学学习、教学、课程教材、评价制度的影响；另一方面，由于数学本身的特点，它是研究空间形式和数量关系的科学。它处理的对象都是看不见、摸不着的，是一些抽象的材料，需要抽象的思维。但是抽象思维的培养需要直观的素材支撑，技术可使学生更好地认识数学的本质。从这一点来说，技术必须是数学化的东西，TI-92Plus图形计算器中的Apps、几何画板在这方面非常成功，它们是非常数学化的软件，它们的设计者具有非常好的数学修养，数学整体观以及对数学本质的认识。从这个角度看，数学带着技术动。两者相辅相成,不是非此即彼的问题。
二、整合：数学课程与信息技术
1．改进学生的学习方式
当前数学课程改革的一个主要出发点和落脚点是改进学生的学习方式。信息技术的发展为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具，技术在“探索”和“多元联系表示”方面的强大功能方面使信息技术担当了这样一个角色，它一方面帮助学生将头脑中想到的信息在信息技术工具上得以显示和验证，更重要的是学生通过信息技术工具的操作可以启发思维，开拓思路，通过主动积极的观察、分析和探索活动，进行学习和发现。可以看到，实际上，信息技术工具自始至终体现了“实践和创新”，这恰恰与当前数学教育改革的趋势相吻合。正如“几何画板”的首席设计者Nicholas Jackiw所说：“要理解你了解的东西，而不仅仅是了解你理解的东西。”（Knowing what you see，seeing what you know）
由于我国的历史文化传统，课堂基本上是教师传授式的教学模式，学生缺少主动探索、发现的机会，在一定程度上导致教学效率不高。随着教育观念的更新以及以计算机为核心的信息技术的发展，为学生的主动探索、发现提供了适宜的环境。例如，借助信息技术工具TI-92Plus图形计算器，我们非常容易地画出指数函数
、对数函数
、函数
的图象（图1），同时产生相应的表格（图2）。从图象和表格中，学生可以探索、比较它们的变化规律、增长的差异、研究它们的性质。而且，学生可以应用技术画任意指数函数和对数函数的图象，同时产生相应的表格，通过学生自主探索、动手实践，容易把握指数函数和对数函数的性质。通过学习方式的改进，提高学习效率。
图1
图2
学生学习方式的变化，必然带动教师教学方式的变化，学生学习方式和教师教学方式的变化，又直接促进生生互动方式的变化。这一切变化中，以改进学生的学习方式为主，它是这些方式变化的核心。学生把数学学习的过程变成了自己认识数学的过程，在对数学的不断探索之中，建构自我的数学认识。所以无论是从数学的本体论来看，还是从数学教学的认识过程来看，技术给学生提供了一种全新的解决方案。
2．沟通知识内容间的联系，认识数学本质，感受数学的整体性
看《标准》数学3统计中参考案例 例2 下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：
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气温/℃ |
杯数 |
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26 |
20 |
（1）将上表中的数据制成散点图。
（2）你能从散点图中发现气温与饮料杯数近似成什么关系吗？
（3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。
（4）如果某天的气温是-5 ℃，预测这天小卖部卖出热茶的杯数。
这是统计中的一个问题，利用现代信息技术，我们首先将表格中的数据“存储到”电子表格（图3）中；然后画出散点图（图4），并从散点图中发现气温与饮料杯数近似成线性关系，利用信息技术的回归（或拟合）功能，我们可以得出
图3
图4
回归直线（图5）；最后通过回归直线，由信息技术的表格功能大致预测-5 ℃时，这天小卖部卖出热茶的杯数大约是66（图6）。
图5
图6
试想，如果没有信息技术工具，解决上述问题存在一定的难度，现代信息技术在数据处理、数据分析方面具有强大的功能。
得出回归直线后，学生可能会产生多种疑问：
第一种疑问：我们可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就可得到回归方程了。
第二种疑问：在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，这样保证各点与此直线在在整体上最接近。
第三种疑问：在散点图中多取几组点，确定出几条直线的方程，再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数当成回归方程的斜率与截距。
这些疑问对于学生来说，是非常自然的，但是它们是否可行？此时技术无法解决上述问题，要了解技术背后的内涵，就需要从数学的角度，从数学的本质去认识它。即求回归直线时，要使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，也就是“最小二乘法”的道理，这才是数学的本质，而了解这种本质对学生来说才是最重要的。事实上，技术正是按上述数学原理进行回归直线方程的导出过程的。
上述案例同时沟通了统计、直线方程、函数表示之间的联系。现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。对上述随机性的问题，我们用确定性的函数表示和直线方程进行研究，用确定性研究的结果去预测（或估计）不确定的情况，为决策提供依据。使学生在一定程度上感受数学的整体性：数学是一个有机的整体，不是孤零零的。
从另一个角度看，函数的解析表示、图象表示、表格表示的“多元联系表示”的思想反映了函数知识内容的统一或完整，即把数字（表格）的、解析式及图象的表示有机地结合在一起。多元联系表示的思想方法是信息技术与数学课程整合的基本思想，是信息技术最重要的功能。它反映了信息技术工具（软件）在设计时，把体现数学的本质，以及数学的有机联系、数学的完整性作为设计时最重要的一条原则。
3．课程内容升级、现代化
由于技术是人们在利用自然和改造自然的过程中，积累起来，并在生产劳动中体现出来的经验和知识，用以扩展人的能力的手段与方法体系。它是人类认识世界和认识自我的一种体现，并随着人类社会的进步而不断进步，是人类文明的基本特征。技术从扩充人类体力的技术到扩充人类脑力的技术，人类为了更好地生存和发展创造了许多技术。这些技术必然极大地扩充人类的脑力和体力，过去是基本知识和基本技能的课程内容必然面临“升级”问题，技术的进入也必然促进课程内容的现代化。我们举几个例子说明上面的阐述。
《标准》课程的基本理念6．与时俱进地认识“双基”中明确提出：“随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。例如，为了适应信息时代发展的需要，高中数学课程应增加算法的内容，把最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能。” 数学日益贴近生活，生活日益数量化，技术日益智能化。人们每天面临繁杂的数据信息，技术应运而生，为人们处理这些信息提供了可能，处理这些数据信息已成为人们生活的基本技能，作为课程的数学必须适应这种趋势。
从必修课程的数学内容看：（1）新增根据函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程近似解的内容；利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的试验；（2）强调借助技术工具，进行函数内容的学习，包括二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等等；（3）突出函数、数列等作为描述现实世界变化规律的重要数学模型。技术的介入，使数学模型从静态的解析式、图象和表格发展到用互动的媒体制作的动态的模型，丰富了人们对数学模型的认识，扩大了数学模型的内涵。
4．促进课程内容呈现方式的变化
与教科书不同，信息技术工具不是简单地表述数学知识，利用它可以在一定程度上揭示数学知识形成的来龙去脉，而且表述的方式很灵活，可以以文字、图形、动画、图表等多种方式多窗口呈现。如果说使用印刷技术呈现的信息是线性的，那么利用超文本技术就能够以网络状数形结构的方式一步一步地呈现信息。这些特别适合于表达数学。另外，技术提供的可交互的实验环境，可以在内容的呈现方式上，为学生“做数学”提供空间，通过一定的栏目，如“信息技术应用”或“数学实验”去实现它。
图7
以函数
的学习为例，考察参数
、
、
对函数图象变化的影响。过去由于没有技术手段，呈现方式上通常采用“五点法”画图的方法，图象是静态的而且个数非常有限。技术介入后，上述问题迎刃而解，我们可以任意变化参数、、的值，观察它们对函数图象的影响（图7）。
总之，信息技术与数学课程整合的方式是，技术作为课程内容和数学学习的必然组成部分。技术必须是数学的东西，它的设计符合对数学整体的把握，符合学生探索基本的数学规律，帮助学生认识数学的本质。技术不仅是一种工具，更重要的是一种学习方式的根本变革。
三、平台：数学课程与信息技术整合的基础
从现在的情况看，随着社会信息化步伐的加快，技术日益普及。越来越多的学校和教师意识到技术在教学中的作用和价值，使用技术可以提高教学的效益、学习的效率已成为教育界的一种共识。越来越多的教师使用技术进行教学、越来越多的学生使用技术进行学习。这些为信息技术与数学课程整合提供了重要的保证。
目前，信息技术软件、图形计算器等技术工具非常丰富。几何画板、TI的APPS、Z+Z智能教育平台、Mathmatica、Mathcad、办公软件以及其他数学教育技术平台为广大教师所熟悉。这为数学课程与信息技术整合提供了物质基础。
信息日益网络化为人们的交流提供了广阔的平台，除了面对面的交流外，教师和学生还可以借助网络，通过交互的活动，使学生借助于可视化的模拟来探究概念和关系。交互的活动程序在技术设计上独具匠心，功能强大、人性化的界面，学生一旦掌握了一个活动的操作，就会很容易地举一反三地掌握其他活动操作。很多交互活动以问题为中心，和真实世界紧密关联，有的甚至整合了多门学科。它在激发学生学习兴趣的基础上，扩展了数学的学习内容。庞大的互动活动程序库和应用互联网上传发布的广大教师开发的互动课程大大地增加了选择机会，使它能面向不同环境的学校和不同学习背景的学生。
总之，技术、网络、广大教师的实践搭建了数学课程与信息技术整合的平台。
Interaction and Integration of High School Mathematics and Information Technology
ZHANG Jin-song
(Curriculum and Teaching Materials Research Institute, Beijing 100009, China)
Abstract: The reform of mathematics is going to depth and the infomation technology is developing very fast, the two of which have become the interactive and support each other. Through the integration of information technology and mathematics, we can improve students' learning method, better understand mathematics essence, link up the connection among the knowledge contents, experience the integrity of mathematics, advance the deepening of the course content and promote the changes of curriculum contents presentation.
Key words: information technology; mathematics; integration