为了和国际数学接轨，全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容，随着课程改革的进行，向量的应用将会更加广泛，这在2004年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，但在教学中，我们的应用还不够，特别是法向量的应用，教科书中只给了一个概念：如果非零向量
，那么 
叫做平面
的法向量，实质上，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。
（一）直线 
的方向向量和平面 的法向量分别为 
，则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即
。
(2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱
中，底面是等腰直角三角形, ，侧棱
，
分别是
与
的中点，点
在平面
上的射影是
的重心
，
（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点
到平面
的距离。
（Ⅰ）解：以
为坐标原点，建立如图所示的坐标系
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
∴ 
,
，
∴
，
，
由 
得， ，
∴
，
，
，设平面的法向量为
，则
，
，由
，
得，
，令
得，
，
∴平面 的一个法向量为
，
∴ 
与
的夹角的余弦值是
，
∴ 与平面所成角为
。
当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为
，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。
（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。
（2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的
四棱锥中，
,
，
，点在
上，且
，
（I）证明：
；
（II）求以为棱， 
与
为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
，使
？证明你的结论。
（Ⅲ）解：以
为坐标原点，直线
分别为
轴、
轴，过点垂直平面
的直线为
轴，建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别为
， 
，
∴ 
，
，
设平面
的法向量为，则由题意可知，
，
由
得
，
∴
令
得，
，
∴平面的一个法向量为
设点是棱上的点，
，则
，
由 
得，
∴ 
， ∴当是棱的中点时， 。
同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为
，此时直线的方向向量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直。
（三）设二面角
的两个半平面和
的法向量分别为，设二面角的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补，当二面角的锐角时，
；当二面角为钝角时，
。
我们再来看2004年高考湖南（理）19题：
（Ⅱ）解：由题意可知， , 
,
∵ ∴ 
为平面的一个法向量，
设平面的法向量为 ，则由题意可知， ,
由 得，
∴ 令 得， ，
∴平面的一个法向量为，
∴向量与夹角的余弦值是 
， ∴ 
，
由题意可知，以为棱，与为面的二面角是锐角，
∴所求二面角的大小为
。
我们知道当两个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我们可用这一特征来证明两个平面垂直。
（四）设两个平面和的法向量分别为，若
，则这两个平面垂直。
（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中，
， 
分别是
上的点，且
，求证：平面
平面
。
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则 ，
， ，
，
，
∴
，
，
设平面
的法向量为 ，则由题意可知，
，
由 
得
，
∴
令
得，
，
∴平面的一个法向量为
，
由题意可知，平面的一个法向量为
∴ 
∴平面平面
（五）设平面的法向量为，
是平面外一点， 
是平面内一点，则点到平面的距离
等于
在法向量上的投影的绝对值，即
。
我们再来看2003年全国（理）18题：
（Ⅱ）解：设 ，则
，
， ，
，
∴ 
，
，
设平面 的法向量为 ，则
， ，
由
， 得，
，令 得，
，
∴平面的一个法向量为
，而
，
∴点 到平面的距离
。
我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离。
（六）设向量与两异面直线
都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量），
分别为异面直线上的点，则两异面直线的距离等于
法向量上的投影的绝对值，即
。
（1999年全国（理）21题）如图，已知正四棱柱
中，点在棱
上，截面
，且面与底面
所成的角为
，
，求异面直线
与之间的距离。
解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系
，
连结
交于
，连结
，则
就是
面 与底面所成的角的平面角，
∴= ，∴
又∵截面 ，为的中点，
∴ 为的中点，∴ 
，
则 
，
，
，
，
∴ 
，
，
设向量 与两异面直线
都垂直，由 
，
得，
∴
，∴ 
，
∴异面直线与之间的距离
前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几何问题的代数化，将复杂的几何证明转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度。但公式的应用也有一定的局限性，一般地，在能建立空间直角坐标系的情况下，利用法向量较为有效。