说课：2.10实习作业

主题词 信息技术 实习作业 中学数学

我交流的课题是高一数学第二章函数的第10节“实习作业”．选用教材：《人教社普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）数学第一册 (上)》．

本节教材主要包括两个例题，例1是一个探索水温下降规律的数学实验．例2是一个有关制定汽车发展规划的环保问题．本节的主要目的是通过实习作业这种新增的教学形式，进一步培养学生借助信息技术工具，运用所学的函数知识分析和解决实际问题的能力．

相对于必修本，实习作业是数学教材中体现素质教育的新增的教学单元，它是研究性学习的一种方式，是培养学生综合实践能力和创新精神的有效途径．本节是实习作业在高中数学教材中的首次出现，因此教师务必要给予足够的重视，从而为今后实习作业教学的顺利进行奠定良好的基础．我们首先来看问题：

一

例1．先将沸腾的水倒入一个杯中，然后把连接数据采集器的温度传感器放入水中，采集不同时刻水温的数据．

（1） 采集的数据填如下表

以时间为横坐标，温度为纵坐标，建立直角坐标系，描点画出水温的变化图象；

（2） 建立一个能基本反映该变化过程的水温y关于时间x的函数关系式，作出函数图象，并与描点画出的图象进行比较；

（3） 如果水杯所在的室内温度为18℃，至少经过多长时间水温会降到室内温度？

在做实验之前，要提醒学生注意安全，譬如不要被开水烫伤、不要损坏设备等．下面我们来简要模拟学生的解决过程．

第1步：硬件连接．学生首先要把温度探头同数据采集器相连，接下来再把数据采集器和电脑连接．

第2步：软件设置．在数据采集器上将单位时间内要采集的温度个数以及总共要采集几个温度数据设置好（譬如每秒钟采集一个数据，总共采集100个数据），同时打开计算机中的相关软件──探世界实验室系统．

第3步：采集数据．按下数据采集器上的开始键，数据采集开始．此时计算机上实时显示温度随时间的变化情况．其显示方式可以是散点图，也可以是数据表格、模拟、刻度栏、数字等（如下图1、图2、图3、图4）．散点图的优越性在于温度数据的变化趋势形象直观，而数据表格中的数据却很精确．按ESC键可以随时终止采集过程，至此数据采集完毕．

图1：散点图象和数据表格

图2：模拟

图3：刻度栏

图4：数字

第4步：建立函数模型．通过对温度变化情况的观察，需要选择一个较能反映温度变化情况的函数来进行拟合．比如可以选择（一次函数、二次函数等）多项式函数、指数函数、幂函数等等．那么究竟选择哪一种函数类型比较合理呢？这是本实验中的第一个难点．这里学生可以很方便地用各种函数类型来进行拟合，通过观察拟合出来的曲线与温度散点图的“重合”程度，最后再进行一些理性分析就可以确定出究竟选择哪一种函数类型比较好，从而也就突破了这一难点．

计算机上有自动拟合和手动拟合两种形式（如下图5、图6）．如果选自动拟合，当选择了函数类型并确定之后，计算机便自动显示出了这个函数的解析式及其图象．然而在这里教师应该引导学生通过手动来体验数据拟合的含义，简单地说就是通过手动改变参数的值，来实时地观察函数图象与温度散点图的“吻合”程度，“吻合”程度越高则所选择的函数就越好．手动拟合的过程直接关系到学生对数据拟合含义的理解，从而也就成了本例教学中的一个重点．

图5：自动拟合（选一次函数）

图6：手动拟合（选指数型函数）

无论学生选择哪个函数来进行拟合，最后，教师都要引导学生去讨论教材中为何要选择型函数来反映温度的变化过程．事实上当水温下降到接近室温后，图象就会按水平方向向右延伸，而指数函数的特征是：随着的增大，图象逐渐下降并且无限趋近于轴，从图象变化规律看二者很相象，因此选择该函数模型较为合理．

第5步：应用．将当时的室内温度y=18代入所得函数，通过计算器算出需要的时间x即可．

这样问题就基本解决了．但还需要指出以下4点：

（1）关于误差：即便学生所选择的函数类型同教材一致，然而他们所拟合出来的函数仍然可能与教材有较大的差异，此时，教师不能简单地认为是实验误差太大所致，更不能简单地认为是学生做错了．事实上除非是水量、水温、容器的散热快慢程度等实验条件完全一致，否则不能保证结果同教材完全相同．在这里教师评价的关键是要针对学生解决这个问题的过程，以及实验过程中所表现出来的态度和思维品质．同时要求学生以分析、批判的态度尊重实验数据，尊重实验结果，不唯书，不唯上．这一点同传统的数学解题教学有很大差异．

（2）关于教学重点：回顾这个实验过程可以发现本例的重点是使学生经历探求水温下降规律的整个过程，体验数学建模的思想方法，同时进一步培养学生运用信息技术解决实际问题的能力．值得注意的是，教学中要求学生能熟练的运用技术来解决问题，否则，数据的采集和处理就会变成教学中新的难点．

（3）关于信息技术的作用：本例还说明，一方面信息技术对促进学生高水平的认知有着不可替代的作用．另一方面，尽管信息技术的功能很强大，但它依然不能代替学生的思维活动，例如在函数类型的选择上，对实际问题的分析说明等．

（4）关于一题多解：由于习题2.9中的第6题给出过物体温度的冷却公式：(是空气温度)，因此教师应该提示学生前后联系，运用该冷却公式进行计算，从而进一步比较究竟选用哪个模型与实际情况更加吻合．事实上，由于水温下降的最后温度将不会低于当时的空气温度，因此我们选用模型（为空气温度）比教材上选用的模型更为合理．

二

下面我们来看例2：某城市现有汽车20万辆，每年报废的汽车占前一年汽车总量的7%，考虑到城市发展以及环境保护等因素，该城市汽车拥有量不能超过50万．于是，当地有关部门规定，该城市每年落户的新车不得超过3.5万辆．试分析这一规定是否有利于城市发展及环境保护．

这是一个制定汽车发展规划的实际问题，按照通常的解题思路，解决这个问题的关键是要找到汽车数量随时间变化的规律，进而讨论当时间取正数时，汽车数量是否不超过50万辆？从而使问题得以解决．然而当学生尝试后将很容易发现：直接列出车辆数y关于年数n的函数关系是非常困难的，这就成了本例的教学难点．突破这一难点的做法其实很简单，只要教师提示学生去建立前后两年车辆数的递推关系，学生就很容易取得进展，即：

=20

=0.93×+ 3.5

=0.93×+ 3.5

　……

=0.93×+ 3.5 (n∈N , 且 n≥2)

找到了递推关系之后，受惯性思维的影响，接下来学生很可能还是只朝着直接建立车辆数y与年数n的函数关系方向上去分析，即不停地迭代：

=20

=0.93×+ 3.5＝0.93×20+3.5

=0.93×+ 3.5=0.93²×20 + 0.93×3.5+3.5

=0.93×+3.5=0.93³×20 + 0.93²×3.5+0.93×3.5+3.5

　　 ……

=0.93×+ 3.5=0.93^n-1×20 + 0.93^n-2×3.5+…+0.93²×3.5+0.93×3.5+3.5

这样通过实际迭代、观察、和归纳，部分学生还是列出了车辆数y关于年数n的直接函数关系．然而由于还没有等比数列的知识，因此学生无法化简处理这个函数．此时就出现了本例的第二个难点，即学生不知道该怎样往下做？此时教师可作如下引导：根据前后两年之间汽车数量的递推关系 =0.93× + 3.5及初始值20，理论上是可以把各年的汽车数量一一求出来的，从而也就可以根据是否有某年的车辆数大于50万辆来判断该规定是否合理．只是这个过程过于繁琐和枯燥．因此我们完全可以借助图形计算器来完成这些计算工作．即：首先输入递推关系及初值，接下来显示数据表格（如下图），通过观察表格中的数据特征：随着n的增大，汽车数量y(u1)也在逐渐增大．当n=49时，汽车数量y(u1)＝49.1，也即再过48年，汽车数量为49.1万辆．继续增大n，通过观察数据表格知汽车数量y(u1)仍然没有超过50万辆，于是就可以得出结论：即这一规定完全有利于城市发展和环境保护．也可以显示散点图，通过观察散点的数值及变化趋势，也可得出相同的结论．

图11：生成散点图


图12：追踪变化趋势，此时n=40, y=48.2



图13：追踪变化趋势，此时n=86, y=49.9

最后，有4点需要指出：

（1）关于解题方式：从对数学式子的求解讨论转到直接借助技术工具来解决问题，这是解题方式上的一种转变，要求学生给与足够的重视．同时例2与例1一样，都涉及到关系式（函数关系式、递推关系式）、表格、图象等，较好地体现了多元联系表示的数学思想方法．

（2）关于解“纯数学”问题与解实际问题的差异：受数学严密性思维定势的影响，有学生提出：仅仅根据数据表格或者图象上的有限个值（年），就得出结论是否过于轻率？这里涉及到了解决纯数学问题和解决实际问题方法上的差异．事实上由于没有任何一项政策的有效年限会是永远，因此只要在相当长的时期内该城市的汽车数量都不超过50万辆就可以认为这项规定是合理的．这一点务必要启发学生弄清楚．

（3）由于数列是下一章（第3章）的学习内容，到目前为止学生还没有等比数列前项和公式等知识储备，那么例2还能否完成呢？事实上，本数列问题是在函数观点下，借助信息技术工具来解决的，因此例2还有这样一个潜在的价值，即方法、手段、工具多了，学生所能解决的领域更广了，途经也更多了，以前一些不好解决、甚至是不能解决的问题，在现代信息技术条件下，情况发生了很大的变化，这就昭示着我们的一些教育观念确实应该有所改变，只有这样，才能不落后于时代，也才能与时俱进．

（4）关于一题多解：例2也可如下处理：该城市每年年末的汽车保有量是一个变量，记为x（万辆），则x的取值变化范围根据题意只能为区间．若记每年新增汽车数量为a万辆（常数），则问题转化为：对任意，都有，求a的最大值．

变形得．而右端作为x的减函数，其最小值为：，从而，也就是说只要该城市每年落户的新车a都不超过3.5万辆，就不会使该城市的汽车超过50万辆，也即该规定有利于城市发展和环境保护．这一解法简洁明了，它不仅避开了数列、极限等复杂的数学知识，而且也不必使用信息技术工具．但它落脚在对问题的逆向思考以及对函数、不等式性质的深刻把握上，从而对学生转化能力及思维水平要求较高．同时这种解法也表明，（该城市现有的汽车数量）20万，并不是本题的本质因素．事实上，根据上述计算我们知道，只要给出的现有汽车数量不超过50万，本题的答案都是相同的．