一、问题的提出
学生的思维活动具有内隐性和自动性特点，大部分学生在思考复杂的数学问题时很少意识到自己的思维过程，很少能了解影响他们自身思维的因素，缺乏反思意识和反思能力，因此他们很难控制自己的思维过程，这样就造成许多学生认为数学难学。如果我们在数学教学中，能够运用元认知理论去指导学生进行自我评价与自我调节，培养学生反思能力，调动学生学习的主动性、自主性、自觉性，那么必然可以使他们学会学习，从而帮助他们提高学习效率。
二、相关概念的界定
杜威认为反思是“对任何信念或假定的知识形式，根据支持它的基础和它趋于达到的进一步结论而进行的积极的、坚持不懈的和仔细的考虑，它包括这样一种有意识和自愿的努力，即在论证和理性的坚实基础上建立信念。”,这席话中隐含着这样几方面的意思：一是反思是一种思维活动（考虑），二是反思具有有象性（指向“信念或假定的知识形式”）、自觉性（“有意识和自愿的”）和技巧性（从支持反思的对象的“基础”及“趋于达到的进一步结论”上着手）。从本质上说，反思不仅仅是“回顾”或“回忆”已有的“心理活动”，而且是要找到其中的“问题”以及“答案”，因而反思具有极强的问题意识。而学生的数学反思能力是指学生在数学学习中对数学认知过程的自我意识、自我监控的能力，它对数学认知过程起指导、支配、决策、监控作用。因此，在数学教学中要努力培养学生的数学反思能力。
元认知是“人们关于自身认识过程、结果或它们有关的一切事物如与信息材料有关的学习特征的认知”，即对认知的认知，其实质是个体对认知活动和结果的自我认识，它包括元认知知识、元认知体验、元认知监控三个方面。元认知理论强调人是积极主动的机体，其主体意识监控现在、计划未来，有效地控制自己的思维和学习过程，因此，元认知理论深化并拓展了反思的观念，不仅使反思的内涵和步骤更加清晰，更容易理解和把握，而且使反思由过去单纯的心理现象变成一种实践行为，直接在实践过程中发挥作用，可以使学生充分发挥主体作用，学会学习，以达到培养学生综合素质的目的。
三、培养学生数学反思能力的途径
1．指导学生充分认识反思的目的和意义
在数学教学中要帮助学生明确反思的目的和意义，使学生体验到学习策略或方法不同，学习效果就不一样，逐步使他们认识到数学学习同时存在认知和元认知过程，数学反思的目的是最大限度地提高前一段的学习效果，这样可使他们自觉、积极去开展反思活动，不断提高水平。
2．在教学中强化反思意识
在数学教学中，要培养学生在各个环节中注意是否存在障碍，尤其要监视“判别错误”，从中获得反思的对象信息。
教学过程：第一步，灵活呈现根据需要，教师以灵活多变的方式呈现数学知识（概念、定义、定理、公理）。第二步，内涵分解。教师逐步讲解原理的含义。第三步，举隅强化。教师给出与定理有关的正、反例证，并让学生举例。第四步，静听成“象”。让学生静听默想，在大脑“屏幕”上形成表象。第五步，判别错误，进行反思。第六步，新旧贯通，建立新旧知识的联结。
3．帮助学生掌握反思手段
3．1 严谨回顾思维活动
帮助学生严谨地回顾自己的思维活动，看看思维是否紧凑，思路是否清晰、严密、深刻，是否出现了偏差，是否抓住了事物的本质与规律，这样的反思有助于思维合理化、精确化、概括化。
3．2 尝试错误，激发反思
例1、在
中，
，
，
，已知
，求证：为正三角形。
错解：
①
②
即
因为
均为非零向量，
，故是正三角形。
错因剖析：我们知道向量的数量积是一个实数，若两个实数相等，则它们的绝对值也相等。因此①
②是成立的；②③乍看起来也没有问题，因为这是我们很熟悉的实数绝对值的性质，但实数的性质在向量的运算中仍然成立吗？我们不妨先从特殊情形入手。令
， （其中
分别是x轴、y轴上的单位向量），此时
而
所以有
。
由向量的数量积定义可知：
，因此，我们可以得到
，当且仅当
或
，即
与
共线时等号成立。题目中由于
不一定是共线向量，因此②③是不成立的，这正是此题错解的症结所在。
发生上面的错误解法，其原因在于学生误认为
，与绝对值性质混淆，这引起学生的反思。这样的反思使学生进一步内化概念的本质属性，也使学生的思维品质得到优化。
3．3 设计多方位多角度的旨在进行殊途同归的思维程序
我们在提间、举例、讲评数学问题时，要倡导一题多解，一题多变，多题一解的训练，并根据所教对象和内容的特点，精心创设一个符合学生认知规律，能激发学生求知欲的由浅人深、多层次、多变化的问题情境，启发探索，诱导反思，养成多角度分析数学问题的习惯。
例2、已知
，求
的最小值。
思路1：由于已知条件中
的地位均等， 可以看作是对称的两个量，因此，我们大胆猜测当且仅当
时，取得最小值。
解法一：（猜想）令，则
，
。
。
故猜想的最小值为
，下面要做工作只是“补行手续”。
思路2：若将看作为一个整体变元，问题则变更为设法消去
项，怎样消去项呢？
解法二：
，
。
，
得
或
（舍去）。
故当且仅当时，取最小值，为。
思路3：由于
，若能求出最小值，问题不是也可以解决吗！
解法三：
，
即
，故。
思路4：能否构造方程来解决问题呢？
解法四：令
，则
，代人条件得
。因为x有意义，，从而
，故
。
思路5：条件等式可以因式分解，分解的因式也能支持问题的解决。
解法五：（略）
思路6：从
知
，
，
成等比数列，用等比数列的性质可以将转化为关于公比的一元函数。
解法六：略
思路7：“数离形难直观”，用图形刻画，可以更加形象生动。
解法七：略。
3．4 反思问题本质，提高思维抽象程度
在解决问题以后再剖析问题的实质，可以使学生比较容易把握问题的实质，在解决一个或几个问题以后，启发学生进行联想，从中寻找它们之间的联系，探索一般规律，可使问题逐渐深化，还可以使学生思维的抽象程度提高。
例3、证明：①若a＞0，b＞0，则
②若a＞0，b＞0，则
学生在解决以上问题以后，发现该题的本质是“几何平均数不大于算术平均数”。让学生观察它们的特点，探讨能否推广为一般命题。
可以得到：
设
，则
进一步反思解题思路，还可以进一步推广为：
设正数
是
的一个排列，则
4．多途径地进行反思训练
在数学教学中要对学生进行反思训练。例如，学生在解题前，可以向他们介绍有关策略，帮助他们理解这些策略和怎样应用这些策略。学生通过解题，感觉到运用有关策略的重要作用，获得深刻体验，这样在解其他数学题时，也会受元认知体验的启发，迅速激活相应策略。因此，通过不断地反思训练，学生数学反思能力就能够日臻提高。
5．培养学生形成良好的反思习惯
反思是认识过程中强化自我意识、进行自我监控、自我调节的重要形式。反思活动进行的深度和广度，能反映自我意识、自我调节进行的强弱。在反思过程中，不但元认知能力可以得到实际的锻炼和提高，而且通过反思后的总结提高可以使元认知能力得到补充、丰富和完善。因此在数学教学中，教师应启发学生多思考，使学生逐步形成反思的习惯。
反思的形式是多种多样的，反思内容也是丰富多彩的。对学习的全面反思有以下两个方面：①反思各学习环节（预习、上课、作业、复习等）的学习质量。例如上课示范过的解题技能为什么不能熟练运用？曾经解决过的类似问题现在为何难以完成？从中反映出自己的预习、上课、作业、复习等学习环节存在哪些问题？如何设法改进？②反思影响学习的非智力因素。特尔曼认为非智力因素与成就密切相关，通过对自己学习兴趣、学习态度、学习目标、学习意志的进一步分析、评价，可以明确自己存在哪些非智力因素的问题，并制订改进措施，从而全面提高自己学习的主动性与整体性。
对数学解题的反思有如下几个方面：①对解题过程的反思：即解题过程中，自己是否很好地理解了题意？是否弄清了题干与设问之间的内在联系？是否能较快地找到了解题的突破口？在解题过程中曾走过哪些弯路？犯过哪些错误？这些问题后来又是怎样改正的？②对解题方法与技能的反思：即解题所使用的方法、技能是否有广泛应用的价值？如果适当地改变题目的条件和结论，问题将会出现怎样的变化？有什么规律？解决这个问题还可以用哪些方法匯率等等。③题目立意的反思：即所解决的问题有什么意义？还有哪些问题需要进一步解决？
四、两点说明
1、数学反思能力的培养要与数学能力（思维能力、空间想象能力、解决实际问题的能力等）的培养有机结合起来，两者相互配合、协调发展，才能提高数学学习的效率，取得好的效果。
2、反思只是手段，而且它的实质在于“发现问题”和“解决问题”。在这种意义上，反思不是越多越好，而是恰到好处才好。同时反思的程度也是以解决问题为标准，也就是说，问题解决了，一次反思相应结束，而且反思的问题应该是经过选择的具有一定意义的问题，而不是缺乏应有价值的问题。
参考文献：
1．熊川武．反思性教学．华东师范大学出版社，1999
2．郑君文、张恩华、数学学习论．广西教育出版社，1996
3．曹才翰、章建跃．数学教育心理学．北京师范大学出版社，1999
4．徐永忠．剖析错因，反思教学．数学通报，2003．10