“数学实验”

【提要】现代教育技术对数学教学改革能发挥哪些作用？本文通过具体实例说明“数学实验”作为现代教育技术对数学教学改革的影响方式之一，将成为高中数学创新教育的一种重要途径；我们就数学实验的目标、内容、组织过程、评价等在高中数学教育中对学生创新精神的影响的具体做法谈了几点体会，以强调数学概念的基础地位，数学思想的灵魂作用，教育技术的调控功能，教育观念的先导意义。

“数学实验”的目标：让学生的思维启动有“理”，运行有“力”，通过学生自己的亲身实践而获得对数学知识的深刻理解，体验数学思想方法的真谛，领悟数学的本质，使“学习方式的变革”适应信息化社会的需要。

“数学实验”的内容：利用计算机或计算器，由易到难、由简单到复杂；与当前所学知识紧密结合；验证已有结论、探究易于归纳结论的问题、已有结论的变式，等等。

“数学实验”的组织：根据内容编辑相应的数学实验手册，学生利用信息技术进行实际操作，教师给出恰当的操作步骤的提示，并在某些操作步骤之前说明一下“目的”，使学生在实际操作过程中体会数学的真实性、趣味性、严密性、合理性，在信息技术帮助下认识数学的美。

对“数学实验”的评价，应当与解答常规数学题有所区别，应当在关注“实验”的结论的同时，重视形成结论的过程以及蕴含的数学思想。评价方式可以是：教师给学生评价、学生自我评价、学生相互评价等多种形式。

下面是教学过程中进行的数学实验应用几例：

实例1“数学实验”在创设问题情境中会激发学生兴趣。

第24届国际数学家大会在北京举行，大会徽标u如图1，利用图形计算器或计算机作出图形（图2）：

图1 　                                  　　 图2

在正方形ABCD中，做AE⊥BF, BF⊥CG, CG ⊥DH ，设AE=a ,BE=b.

则:正方形ABCD的面积为S=           ；

△AEB、△BCF、△CDG、△DAH是全等的直角三角形，它们的面积和=           ．

从图形中我们可以清楚地看到S、的不等关系，它们有相等的情况吗？

如果a，b是任意实数，结论还成立吗？

定理1：如果a，b∈R，那么a²＋b²≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）．

兴趣是学习的动力,问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.如何利用信息技术培养学生提问题的能力就很有必要，在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.利用信息技术将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,又促进了学生的实践动手能力，更重要的是引起学生的认知冲突.另外，这样做的德育目标是自然而有效的，培养学生的爱国情操，从而体现信息技术的力量，在培养学生综合素质能力方面将发挥着不可替代的作用。

实例2、“数学实验”将学生的学习过程从教师的口中转换到学生的手上，“数学实验”拨掉了神秘数学结论的“面纱”,学生会情不自矜的喊出：我发现了，……

　 用图形计算器或计算机作出函数f_i(x)的图象、解方程f_i(x)=0（i=1,2,3）,然后探究图像、方程的根与不等式f_i(x)<0的解之间的联系．

1． f₁(x)=（x－4）（x－3）

图3                                          图4

2． f₂(x)=（x－4）（x－3）（x－2）

图5                                             图6

3． f₃(x)=（x－4）（x－3）（x－2）（x－1）

图7                                              图8

探究发现：

方程(x-x₁) (x-x₂) (x-x₃) (x-x₄)=0的根(不妨设x₁<x₂ <x₃ <x₄) x=x₁,x=x₂,x=x₃,x=x₄将数轴分成五个区间如图:

图-9

当x∈(x₁,x₂)∪(x₃,x₄)时，

(x-x₁) (x-x₂) (x-x₃) (x-x₄) ＜0

当x∈(－∞,x₁) ∪（x₂,x₃）∪(x₄, ∞) 时，

(x-x₁) (x-x₂) (x-x₃) (x-x₄) ＞ 0

结论可以通过机械的强化训练而得出，但是得到结论的过程对未来人才的成长应该更有意义。

实例3、 “数学实验”的一个重要特征是思维空间在无形的被延伸。

给定函数，利用单调性判断a>b>0时，f(0)与f(m)的大小关系．如果b>a>0，结果又会怎样？

① 如图选择参数a、b（a>b>0）,做出函数及其图像；

图-11

②在图像上选择动点A，观察动点A变化规律；选择两个动点A、B，观察两个动点的坐标变化规律。

② 当m=X_A >0，X_B=0时，观察f(0)=Y_B与f（m）=Y_A的大小关系得f（m）>f(0),即；

图12

④观察图像，当-b<m=X_A<0时，f(m)=Y_A<f(0)=Y_B, 即

⑤继续观察，当B 点跳到另一支上时（即X_B<-a），B 点的纵坐标一定比A 点的纵坐标大（无论A 点在右支的哪里,即-a<X_A）可得：

⑥利用画点工具，在高BD上取点M；选择点B、M，利用“度量”下的“距离”测出BM的值；选择点C、BM的值，用“构造”下的“以圆心和半径绘圆”作圆；选择所作圆、高CE，按“Ctrl+I”作出点N；选择所作圆，按“Ctrl+H”隐去所作圆；

⑦选择点M、H，利用“度量”下的“距离”测出MH的值；选择点N、H，利用“度量”下的“距离”测出NH的值；选择点O、H，利用“度量”下的“距离”测出OH的值；

⑧利用“度量”下的“计算”得出的值；

⑨变动点M在高BD上的位置，我们会发现，当点N在线段EH上时，的值恒为1.7321；

⑩猜想：

学生动手实践、观察思考会得到很多不等关系，将这些带有条件的不等关系总结成一类不等式，并用不等式的证明方法进行理论证明，这样的数学实验会极大的激发学生的探究欲望。

又如设a、b、c为△ABC三条边的长，试研究m=的变化范围．

类似的问题在计算机或图形计算器的实验中：拖动──观察──分析──探究──总结──证明，这个过程对数学思想的形成以及创新精神的培养意义深远。在探究中获得结论，过程重要而且结论更加清晰，学生更有成就感。在真实中体验数学，数学是美的……

实例4：“数学实验”提供给学生充分想象的空间，“8+双曲线”──一个新动圆心轨迹。

探究：1.当D在OC中点时，我们得到短轴相等的不同椭圆，并且椭圆长轴随OD/OC的值增大而增大. 2.当D与C重合时，我们可以得到直径与椭圆短轴相等的正圆。3.当D在OC的延长线上，会有如下图形，且图中“8”字图形会随OD/OC的值增大而缩小；两边的曲线也会随这个比值增大而改变（具体规律有待于进一步探究）。

以上几个例子说明计算机能为数学教学开创一个过去不敢想象的“数学实验室”，为数学教学的改革开拓了思路。

首先，“数学实验”使学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学，对那些持怀疑态度的问题在实验中得以确认。过去被动地接收“现成”的数学知识，而现在象“研究者”一样去发现探索知识。实践表明，通过数学实验，学生对有关知识的印象比过去死记硬背要深刻得多，尤其是理性化的认识能力和理解能力得到提高。同时由于学生通过实验、观察、猜想、验证、归纳、表述等活动，他们不仅形成对数学新的理解，而且学习能力、特别是信息化时代的信息化生存能力得到了提高。

其次，数学实验缩短了学生和数学之间的距离，数学变得可爱亲近了。人们普遍认为数学之所以难学，是因为数学的“抽象性“与“严谨性”，而这正是数学的优势。正由于数学的抽象性，它才能高度概括事物的本质，也才能在广泛的领域得到应用。正由于数学语言和推理的严谨，不管自然科学还是社会科学，当从定性研究进入定量研究时都求助于数学。那么数学就非得板起严肃的面孔，使人敬而远之吗？数学就不能深入浅出，使一般人容易理解吗？现在计算机创设的数学实验似乎开辟了这样一条新路。通过“问题-探究-交流-总结-提高与回顾”这种新的学习模式，学生可以理解问题的来龙去脉，它的发现及完善过程，从感觉到理解，从意会到表述，从具体到抽象，从说明到证明。一切都是在他眼前发生的，抽象得易于理解，严谨得合情合理。

当然数学并非一切都要通过学生亲自实验，有的可以通过演绎推导，有的还是通过听教师讲解才领会更深。哪些适宜学生自己上机实验，哪些只需看教师的演示实验就可以了，哪些根本无需实验，这需要认真研究。但现在普遍存在的问题是：许多事实都是教师“讲”出来的，有的连教师自己都没有经过必要的实验，可以设想学生怎么能接收这些强加给他的结论呢？

再次，引入数学实验并不等于削弱教师的主导作用。教与学的关系还是那句老话：学生是主体，教师是主导。所以只提数学实验是不够的，还必需要强调“交流”，在实验基础上的交流。最终学生要从感性认识到达理性认识，从理解到应用，这就必需把数学作为语言符号化的存储在自己的大脑中。因此“口头”与“笔头”的表达与交流必不可少。我们不同意“现在是告别黑板粉笔的时候了”的提法，不同意不用文字课本、不用纸笔只敲电脑键盘学数学的作法。在交流的过程中，容易组织起不同意见的讨论甚至争辩，教师也可以利用这个机会启发诱导。教师对问题的深刻阐述、机智的解题策略设计、对学生规律性错误的分析、对数学美的诠释都是宝贵的，这些并没有被数学实验所取代，但只是在交流中这些才成为学生的需要，也才能在数学教学中发挥作用。在这种教学模式里，实验与交流的完美结合突现了数学知识形成的完整过程，这里既有教学的个别化、小组的相互促进协作学习，又能利用全班集体环境的优势。在这个模式中,从实验到交流的各个环节，教师的主导作用都是十分突出的，只不过对教师提出了更高的要求。因为过去一切可以按事先自己准备的讲就可以了，而现在则需要组织起有效的吸引学生的数学活动。我们的教学实践中，教师开始常常抓不着上课的感觉，但实践表明，教学模式的改革跨出这一步，数学教学就出现一种前所未有的生动活泼的新气象。

当然练习对于学好数学、巩固和应用数学知识同样是绝不可少的。一个开放性的题库便于教师灵活组织最适合学生当前水平的练习，能极大地提高工作效率，使教育资源做到可重复使用。教育技术可以实现对学生练习的及时反馈与科学评估，更好地发挥每一次练习的作用。回顾则要求学生在学过一个段落之后对所学知识点、所用的数学思想方法进行反思与总结。我们设想如果学生的数学学习经历了这样一个过程，他不仅学到了相关的数学知识，而且学到了学习数学的方法。

顺便指出，这里谈到的数学实验并非所有课堂都采取这个模式，可以从整个单元出发进行教学设计，有些课用于实验，有些课用于交流及练习。有些可以用在教学前，有些可以用在教学后，用在应该用的地方为最佳，另外，也不是说用这种模式整个代替传统模式，所有数学课都用计算机或计算器上。然而计算机计算器进入数学教育的大趋势是不可逆转的，它必然对数学教学模式产生深刻的影响。 “问题-实验-分析交流-总结发现-回顾”的数学教学模式能否把现代教育思想、传统教学的丰富经验以及先进的教育技术完美的结合起来呢？是否适合数学教学的学科特点呢？对此我们还需深入研究、进行教学实验的检验，并在实践中不断总结经验。　

结束语：教师在教学过程中的角色在变化，工作方式在变化，但数学教师是不可替代的，粉笔是不可取消的。“数学实验”的开展是需要数学教师的智慧的，数学教师从知识的传授者变成学生学习活动的组织者与教学情景的设计师，他不但需要掌握一定的现代教育技术，而且更需要有现代的教育观念，坚实的数学功底和精湛的教育艺术。

参考文献：

（1）现代教育技术与数学教育 北大 北京市海淀区数学CAI课题组 王鹏远

（2）人人关心数学教育的未来 美国国家委员会 世界图书出版公司

（3）教学工具改革势在必行 徐庆和 李京东

（4）数字化生存 尼葛洛庞帝 海南出版社

本文获得“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”课题子课题论文和优秀案例评比一等奖