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三次函数性质的探索

提要本文通过对一次函数、二次函数知识的回顾，利用几何画板为工具，对三次函数的单调性、有没有极值的问题进行探索研究，经过大量的实验验证，对函数的单调性、有没有极值可以运用函数f(x)的导数函数的判别式进行判断．从而找到了三次函数的性质，为进一步探索高次函数的性质提供了方法依据．为解决高考中三次函数单调性、极值以及借助极值证明不等式等问题找到了有效的解决方法．

主题词 探索三次函数的性质极值

我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．并结合TI图形计算器任意输入几个不同的一次函数进行验证．

接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：

　　图1 图2

利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．应用用TI图形计算器任意输入几个不同的二次函数进行验证．

那么，三次函数的图象是什么形状呢？单调性呢？是否存在极值？它有哪些性质呢？各组学生开始对函数图象可能单调递增、有极值等问题展开激烈讨论．接着让各小组利用TI图形计算器任意输入几个不同函数进行验证．学生马上输入许多不同的三次函数进行探索，经过各组学生探索后，综合他们的探索归纳发现函数有六类．如图：

图3 　　　　图4

图5 图6

图7 图8

分析：由图3函数有哪些特点呢？归纳：解析式是，整个定义域上函数单调递增，在图4中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值，函数必经过原点．单调性又与什么知识相关呢？导数，现在求出函数的导数是，验证与0的关系，当时，即的图象在是单调递增；当时，即的图象在是单调递减相一致．当，根据图象知道，在处不是函数f(x)的极值点．所以的根是函数取得极值的必要不充分条件．现在思考并验证函数与函数图象有什么关系？经过验证得出：函数与相同，当时函数图象是图象向上平移|d|个单位；当时函数图象是图象向下平移|d|个单位；函数的导数都是．

在图5中解析式是，整个定义域上函数单调递增．在图6中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值．函数的导数，经过验证在图5中因为即，所以的图象在是单调递增；在图6中因为即，所以的图象在是单调递减；函数都不存在极大值或极小值．为什么在图5中a>0、,在图6中a<0、呢？a>0、或a<0、是又有什么结果呢？因为导数是二次函数，当a>0、或a<0、时判别式，导数函数不小于0，方程有一个根．当a>0、或a<0、时，方程有两个根．那么函数图象有什么特点呢？猜想如果，那么有两根，函数f(x)应有增也有减，我们来验证一下图7、图8：

在图7中解析式是，在或上函数单调递增，在上函数单调递减；在处取得极大值，在处取得极小值；在图8中解析式是，在或上函数单调递减，在上函数单调递增；在处取得极小值，在处取得极大值，它们在上最大值和最小值．为什么呢？函数的导数是，设的两根是并且令．经过验证在图7中，因为，当或时，所以的图象在或是单调递增；在上，所以的图象在是单调递减．在图8中，因为，当或时，所以的图象在或是单调递减；在上，所以的图象在是单调递增．