对高中新课标教材习题设置的几点认识

一、非常注重与现实周边生活的联系，使问题的呈现显得更加亲切、自然

人教A版教材主编刘绍学说过：“数学是自然的，是亲切的，是有用的”，在新教材的习题设置中，就很好地体现了这一点。列举了大量的身边周围经常发生的一些实际例子。

例如：学生在上学过程中因为行走的速度不同，而出现了离家距离与行走的时间依赖关系（）； 夏天因天气的变化无常而带来的温度与时间的依赖关系（）；心动过速患者因为药物在体内的含量变化而带来的心率与时间的依赖关系）；牛奶保鲜时间与储藏的温度之间的依赖关系（）；工交汽车线路收支差额与乘客量之间依赖关系等等。

这些问题的出现，让学生不再觉得数学是枯燥的符号游戏，并不是所谓的“一些居心叵测的成年人为青年学生挖的陷阱”。它是实实在存在于我们身边，不再离我们遥远。以身边经常发生的一些生活实例为载体来编制习题，让学生读起来倍感亲切，做起来兴趣高涨。同时也向学生说明：数学并不是高深莫测的，只要自己在平常的学习和生活中做个有心人，都可以去发现一些隐藏在自然、社会现象中的数学问题，这对培养学生用数学的眼光去观察周边事物、思考日常生活问题的习惯起了一种推动作用。另外在实践的过程也让学生觉得数学是有用的，不但可以提高他们的思维能力，也是可以服务于实际生活，从而提高他们学习数学的主动性和积极性。当然课本这些习题的呈现只是起到了一个导向作用，教师在授课的过程中，还可以根据自己生活地区特有一些生活素材，来编制数学习题，这样可能更能拉近数学与学生的距离。

二、开放型问题所占的分量加重，更加注重学生创造能力的培养

创新是一个民族的灵魂、是国家兴旺发达的不竭动力。公民的数学素养成为社会发展的重要尺度，社会要求数学教育培养出具有更高数学素质、更强创造能力的人才。如何培养学生的创造能力，已经是数学教育关注的一个焦点问题。在数学教学中，培养数学创造能力最好的办法就是给学生创设一个独立、多元的思考空间。而这种办法的落实往往又是通过开放性问题为载体的。新课程就非常强调学生创造思维的培养，在习题设置上，开放型问题的分量较以前的教材大大加重。

案例1. 习题1.2A组第8题:如图1所示，矩形的面积为10，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

这是以前旧教材上的一道题目的改编题，以前的问题是这样的：试写出对角线长关于边长的函数。

相比旧教材：新课标教材对问题的设置更具开放性，给学生更大的自主思考的空间。学生可以根据函数概念自由构造函数。在这样一个开放的背景下，各个层次的学生都得到了较好的发展。同时这样不指定自变量和因变量构造函数，反函数的概念也就无形地渗透了进来，教材没有明确给出反函数的概念，让学生通过解题自己去感悟，这种无形的渗透显得独巨匠心。此外，这样的训练有利于学生对函数概念本质的理解。

案例2. 习题1.3A组第4题：一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象。

题目只是给出了问题一个主要矛盾，学生作图的结果可以不要求完全一致，只要把题目所反映的主要矛盾抓住就可以了。力求在统一之下的多样性。

三、对难的问题的解决讲求循序渐进，同时也为后续知识的学习不时地埋下伏笔、作好铺垫

对数学知识的掌握讲求顾泠沅先生提倡的“序进原理”，对难的问题的突破要给学生铺设一个通向成功的坡度。新教材在问题设置中，很注意讲求循序渐进。

案例3. 复习参考题A组第10题：

已知函数，

（1）它是奇函数还是偶函数？

（2）它的图象具有怎样的对称性？

（3）它在（）上是增函数还是减函数？

（4）它在（-，0）上是增函数还是减函数？

上述第（3）、（4）问的解决实际上为偶函数在对称区间单调性的关系揭示提供了一个具体示例。在这样的感性认识下，接着教材把认识的高度上升了一个台阶，安排了 B组训练中第6题：

（1）已知奇函数在[]上是减函数，试问：它在[]上是增函数还是减函数？

（2）已知偶函数在[]上是增函数，试问：它在[]上是增函数还是减函数？

在面对这样一个题目时，学生心理已经有了准备，不会感觉到无从下手。同时上一个问题解决也为一般结论的得出提供了一个思考的方向。这样知识的掌握的过程是一种平缓的过程，新的知识的形成不是一蹰而就的，理解起来就显得比较容易接受，掌握起来就会显得更加牢固。

此外，教材在编排习题的时候有意识地为后续知识的展开迈下伏笔、做好铺垫。

案例4. 在函数的概念一节后面设置了这样一道题目（）：

已知函数，

（1） 求的值；

（2） 求的值。

这样的题目实际上为后面的奇函数的判定埋下很好的伏笔。

复习参考题B组第5题（）：

证明：（1）若则，

      （2）若则。

实际上第（2）问就是二次函数凹凸性的证明，为后面凹函数与凸函数引入作好铺垫。

习题1.2A组第7题（2）: 画出函数的图象.

这为后面数列教学的开展做了很好的铺垫，为后面揭示数列的函数本质，以及数列图象是一群孤立点的特征，先给学生一个面上的印象。

四、问题设置更加注重学生动手能力，实际操作能力的培养，首现数学模型的原背景回归问题

新课标教材在习题中多次涉及到函数的作图，根据题目提供的实际背景（提设条件），要求作出符合题意的函数图象；

案例5. 练习2 (): 已知是偶函数，是奇函数，试将下图补充完整。

学生通过亲自动手准确完成上述作图，在训练的过程至少强化了以下几个方面的知识：（1）是巩固加深了对奇函数，偶函数定义的理解；（2）掌握了函数图象作图的常用方法 特殊点（关键点）法；（3）在作出图象以后可以得到奇函数，偶函数在对称区间上的图象特征的一种直观认识。同时在亲自动手实践的过程中，也锻炼了学生的尺规作图能力.和对数学美的一种感悟。

除此，课本习题还特别注意数学模型原始情景的再现，这是在以往任何教材都没有的。

案例6. 练习2 ()：下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个函数图象写出一件事情；（具体题目略）

习题3.2B组第2题：如图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图象。

(1) 试说明图（1）上点A，B以及射线AB上的点的实际意义；

(2)　由于目前本线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？（图略）

复习参考题第4题()：设计四个杯子的形状，使得在向杯子中匀速注水时，杯中水面的高度随时间变化的图象分别与下面图象相符合。（图略）

以前的教材在呈现作图题目都几乎是一个模型：就是给出一个实际背景模型，要求作出一个符合给定背景和模型的函数图象,而现在的教材在设计习题时，除了保证以往的基本训练外，而且还要求学生掌握这一过程逆向思维，要求学生会根据图象提供与图象吻合的原始背景和实际模型.这样一来，在思维训练的维度和深度上就大大加强.通过抽象到形象的回归,学生可以在这样的一个函数图象要求之下不拘一格大胆构想，对开发他们的语言组织能力，绘画动手能力都是一个很好的锻炼机会。而这样训练往往又是学生喜欢的，愿意去做的事情.同时通过正逆两个过程的强化，学生对知识理解将会更加透彻。

五、问题的设置给学生留有广阔的思维空间，给老师提供了很好的变式平台

知识的讲解最好要留有回旋的余地，要尽力达到一种“余音绕梁，三日未绝”的境界。新课程教材在习题设置中，尽力地体现了这一原则。

案例7. 习题1.3Ａ组第6题：已知函数是定义在R上的奇函数，当时，。画出函数的图象，并求出函数的解析式。

　课本问题的设置还基本上是以“扶着学生走”的方式呈现．学生在完成此题的过程中，通过作图，找到特殊点，然后再确定时的解析式。显然他们并不会满足于这样“拄着拐杖走路”，很希望能脱离函数图象这一中介的辅助，“脱离拐杖而独立行走”。于是他们会问（或者老师启发）若不作函数图象，能求出的解析式吗？在完成此题目的基础上他们也许还会尽一步发问：此方法可以推广吗？对一般的奇函数也适用吗？ 若为偶函数又该怎么处理？经过这样一连串的发问（或者由老师进行变问），那么该题目的解决过程就显得丰满、充实。达到了以点带面、把“薄书读厚”的目的。可见教材给学生的这根“拐杖”就是要激起学生自动产生“脱离拐杖”的愿望。这样知识的升华就显得润物细无声。

【参考文献】

1．普通高中课程标准实验教科书必修Ⅰ 北京 人民教育出版社 2004

2．普通高中数学课程标准解读 南京 江苏教育出版社 2004

3．朱水根 王延文 中学数学教学导论 北京 教育科学出版社 2001

4．教育部师范教育司组编 张思明与数学课题学习 北京 北京师范大学出版社 2006