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论最近发展区与数学能力的培养

摘要：学生的最近发展区对数学教学的一些启示，在最近发展区的已知彼岸如何才能把学生自然地过渡到所能达到的未知彼岸，从而提高教学效率，培养学生的学习兴趣和数学能力。提出了三个原则，循序渐进原则，利用“变式”原则，螺旋循环原则。

关键词：最近发展区、数学能力、培养

最近发展区指的是学生已有的能力水平与现在还没有，但经过训练可以达到的水平之间的距离的差异，学生已有的能力是指学生能独立解决问题的能力，而学生可以达到的能力指的是学生现在还不能独立解决问题，但在教师的指导下，通过模仿加上个人的努力从而形成解决问题的能力，最近发展区与学生的年龄、能力、知识水平等有紧密的联系，不同的班，同一个班之中不同的学生，其最近发展区也有明显的不同，根据具体情况具体分析，而教师对学生最近发展区的把握与研究，直接影响到数学教学效率的高低，影响学生学习数学的积极性，从而对数学能力的形成有着重要的影响，在具体教学之中，尽管学生个体有着明显的差异，但总体来说，如何把学生从已有的水平引渡到未知的水平彼岸，还是有规律可循的，本人根据多年的教学经验，提出如下几点看法，以期能抛砖引玉。

一、循序渐进原则

教师对所教学生的最近发展区估计得过高，学生不易掌握老师所教的内容，即所教内容相对于学生而言过难，在课堂教学之中表现出气氛沉闷，从而打击了学生的信心，影响学生学习数学的积极性，反而欲速则不达；而对学生的最近发展区估计得过低，则不宜学生能力的形成，使得学生老是在同一水平徘徊不前，从而使得教学效率低下，这种情况在课堂教学之中虽然气氛活跃，但学生实际上没有什么提高，教学效率也不会高。

当然，不同内容，不同阶段，不同的教学对象，最近发展区也不同，这要具体来分析，下面以数学概念的教学为例来作说明。

对于数学科来说，概念是数学知识的结构基础，中学数学概念是经过教学法加工以后，带有另外一些特征，即具有准确性，层次性和发展性，在教学之中，对新概念的引入，要以原有的知识为基础，并且能通过大量的事例揭露出概念的关键特征，概念少不了下定义，在区分定义的特征时，首先要借助于直观形式，通过具体的事例来说明定义，例如：在引入《数列极限》的定义之前，要引导学生仔细观察有极限和无极限的具体数列，获得有关数列的直接表象，再把数列极限通过坐标轴表现出来，这样就可以把它看成数列的项能无限接近的一个数，最后才用数学形式（当时，）表示出来，这样才能发现数列极限的本质特征，还要判断具体的数列是否满足这一特征，完成这些工作之后再对数列极限下定义，这样学生就能很好地掌握所学的内容，又如本人在上高三《统计》这一章里的随机变量这一概念时，学生开始理解时也较为困难，加上符号等以前见得少，大多数学生都不知随机变量表示什么意思，课本上在引入随机变量这一概念时也过于简单，所以在教学之中要先举例，通过具体事例介绍不同的实验结果，那么随机变量就代表实验的所有不同结果，

例如：袋中有3个白球，2个黑球，现每次从袋中任取2个球，那么能作为随机变量的是，

取出的球中至少有一个白球，取出的球中至多有一个白球，

取出的球中所含白球的个数，至少有一个黑球，

引导学生分析，能代表实验的所有结果的，只有这一项，所有应为，其它选项则没有把所有的实验结果包含进去，当然就不可能作为随机变量了，通过这一例子，学生才终于对随机变量这一概念有了鲜明的认识。

二、充分应用变式，发挥数学“变”的魅力

（一）在对公式、定理、公理的教学之中，在学生对公式的来源、背景加以理解之后，如何才能加强学生对公式、定理的理解从而形成数学能力呢？如何才能避免低层次的反复重复呢？这里，“变式”起着重大的作用，通过变式能把公式、定理、公理的本质揭露出来，比如初中的完全平方公式：，可以通过设计如下的题组来进行。

（1）关于公式的简单的理解

（2）扩大的变化范围

（3）公式的逆用练习

（4）项的系数限定在正整数范围内的练习

在关于公式具体化的过程中，随着意义的逐步加深，其内容和难度也在逐步增大，使学生对公式的结构、内在联系体会得更加具体、深刻，这一比较，可以使学生开阔视野，更好地掌握公式，防止的错误，当然，还可以用如图长方形的面积来表示，

在上述练习都达到一定的程度后，还可以把公式形式化为

其中和是待填的空位置，不但可以填数字，字母，代数式子，还可以填写其它复杂的式子，到了这一步，这种表达形式给学生一种非常深刻非常形象的感受，从而为学生的形式运算能力打下了基础。

在高中数学的教学当中，这方面的应用就更加广泛了，比如：

1，对于《高一代数》抽象函数的定义域的教学，历来是个难点，可以设计如下的一组题组练习，

（1）已知的定义域为，求下列函数定义域，

（2）已知函数的定义域为，求下列函数的定义域，

还可以形象地比喻为：为一个人，（）为他所背的口袋，不管口袋里面装的是什么东西，这人能背动的重量是固定的，超过了这人的承受能力，那么这人就背不动了，相当于此时函数没有意义了，这样学生对“对应法则”的理解就更加深入了。

2，对于“三角函数”这一部分，公式很多，这里面更应把一些变式让学生把握，如：

（1）对公式的逆用

（2）公式变形

这里面还有很多，这里不一一举例了，

3，对于“立体几何”中三垂线定理的教学，学生往往把参照面看成水平面，

课本上对三垂线定理的介绍为，如图：已知直线点， ⊥，且垂足为点，若平面内一条直线⊥，那么⊥

由于课本上的平面是水平放置的，所以学生在头脑之中总是以为参照面总是水平放置的，所以在遇到如下的题目时，学生往往不知如何来做：

例：已知，且两两互相垂直，求：点到直线的距离

这道题目用坐标系来做当然可以，但如果用三垂线定理来做则更容易，但学生往往不知如何用三垂线定理，所以，在三垂线定理的教学之中，应设计如下的题组，

（1）下列正方体的图形之中，判断与是否垂直

（2）下面有一个四棱锥与三棱锥，四棱锥的底面是正方形，三棱锥的底面为直角三角形，且都与底面垂直，判断两个棱锥的侧面各有多少个直角三角形？

（3）已知，且两两互相垂直，求：点到直线的距离？

通过上述例子，学生对三垂线定理的理解更加深入了，特别是对参照面的理解更加灵活了。

（二）一题多变和一题多解，变式在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸，其中特别是一题多变和一题多解，在这方面应引导学生进行探讨，往往能起到事半功倍的效果，下面举例加以说明；

一题多变，就是引导学生在解答某些数学题之后，进行观察、联想、判断、猜想，对数学题的内容、形式、条件和结论作进一步的探索，从不同的侧面深入思考数学题的各种变化，并对这些“变形题”进行论证，从而培养学生灵活、深刻、广阔、发散的数学思维能力，以教材上的一道题目为例说明“变”的魅力，

设都是实数，且，求证之后，保留条件，作出如下的变化：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

一道多变，即教师对题目本身进行思考，一般在做完一道题之后，向学生提出几个问题，

（1）能否推广（2）逆命题是否成立，否命题是否成立（3）从此题之中你能总结出怎样的规律，这些规律你能解哪些题，

一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力，如以求复数的模的最大值为例，

例：已知复数满足条件，求的最大值？

这里可以用代数法，三角法，图象法，用公式和等等，

总之，数学的魅力就在于“变”，有“变”才有“活”，在这当中，设计适当的变式，可以给学生提供一座桥，让学生在已知的水平和未知的水平之间自然过渡，这里的最近发展区要把握得好，“变式”能避免让学生反复的练习同一题型，避免学生在低水平层次之间反复的重复，从而使学生的思维能力得到更宽，更广，更深的培养。

三，螺旋循环原则

由于中学数学存在两种不同的数学知识，一种是中学课本中明确给出的概念、法则等，而另一种则是蕴藏于其中的知识，如数学思想、数学方法等等，我们称前者为表层知识，后者为深层知识，在中学数学里，数学内容由表层知识和深层知识两部分组合而成，二者相辅相成，缺一不可，由于深层知识与表层知识相比、具有抽象度高、隐蔽性强和难以表达等特点，所以在教学之中，对深层知识的处理应尊循下列原则。

（1）渗透性原则，在表层知识教学之中，一般不直接点明所用的深层知识，而是通过精心设计的教学过程，有意识潜移默化引导学生领会蕴含于其中的深层知识。

（2）反复性原则，学生通过表层知识的学习，对蕴含于其中的某些深层知识（如数学思想方法等）开始有了感性的认识，经过多次的反复，在比较丰富的感性认识的基础上，逐渐概括为理性认识，然后在应用中对形成的深层知识进行验证与发展，加深理性认识，从较长的学习过程来看，学生是经过多次反复，逐渐提高认识的层次，从低级到高级，螺旋式上升的，另外，深层知识的学习与表层知识的学习相比较，学生之间的领会与掌握情况有更大的差异性，所以具有更大的不同性，但仅是长期反复与不明确的渗透，将会影响学生认识从感性到理性的飞跃，妨碍学生有意识地去掌握知领会，渗透性与明确性是深层知识教学的两个方面，因此，在反复渗透的过程中，利用适当的机会，对某种深层知识进行概括、系统化和提高，对其内容、规律、和使用方法适度明确化，这是数学深层知识教学的一个原则。

下面举例加以说明，如“数形结合”思想的形成，

（1）孕育阶段，学生在初中，学习了坐标，使得点与数对形成了一一对应，在学习了一次函数、二次函数之后，能对图形与式子之间的关系有一个印象，

（2）形成阶段，在高中，通过函数图象的学习，解析几何的学习，学生头脑之中逐步形成了一个数形结合的思想，如：已知满足，求的范围？