由正四面体的性质,运用联想类比的思想方法来探求直角四面体的性质。所谓直角四面体就是有一个三面角的各个面角都是直角的四面体。如图,四面体OABC在点O处的三个面角都是直角。所以四面体OABC是直角四面体。 直角四面体的性质: ① 直角四面体的对棱互相垂直. 证明:如图 ② 二面角A-OB-C、二面角A-OC-B、二面角B-OA-C都是直二面角. 证明:由(1)得OB ⊥ 平面OAC, ∠AOC是二面角A-OB-C的平面角,即二面角A-OB-C是直二面角。 同理可得:OC ⊥ 平面OAB,二面角A-OC-B是直二面角, OD ⊥ 平面OBC,二面角B-OA-C是直二面角。 ③ 直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心. 证明:连结 由三垂线定理的逆定理得 同理, ④ S2△BOC=S△BHC·S△ABC 证明: ⑤ 证明: 同理,在 ⑥ 不含直角的底面ABC是锐角三角形. 证明:设OA = a,OB = b,OC = c,则 在 所以∠BAC是锐角.同理可得∠ABC、∠ACB是锐角,所以△ABC是锐角三角形. ⑦ S2△BOC+S2△△AOB+S2△AOC=S2△ABC(底面面积S△ABC= 证明:由(6)得: ⑧ 体积 V= 证明: ⑨ 外接球半径 R= 如图所示,以点O为长方体的一个顶点,OA、OB、OC为长方体的三棱作长方体OBEC-AFGH,则四面体OABC的外接球也是长方体OBEC-AFGH的外接球.设四面体OABC的外接球半径是R,则 ⑩ 内切球半径r= 设△OAB的面积是S1,△OAC的面积是S2,△OBC的面积是S3,△ABC的面积是S4,则 由⑦得: 由等体积原理得: 所以,内切球半径 r= 本文探究了直角四面体的一些有趣、优美的特性。在以后的学习中我们要学会挖掘一些特殊几何体的性质,以拓宽我们的数学思维。
OB ⊥ OC,OB ⊥ OA。
OB ⊥ 平面OAC, 又
,同理可得:
直角四面体的对棱互相垂直.
,并延长交
于
,连结
.
即
,
,
,
中,由余弦定理得
,
)
.
.
.
,
,
,
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