“数形结合”在中学数学中的应用

1．“数”“形”结合是推动数学发展

(1)“形”的问题可使用“数”来计算，“数”的关系可以用“形”来表现。

例如解析几何中将几何问题代数化，如关于直线斜率、距离、线段定比分点等等，将“代数”与“几何”相结合起来。

(2)“形”促进了“数”的概念的发展，丰富了计算方法。

例如无理数的计算，例如、的发现，由边长为1的直角三角形得。

代数恒等式的证明如图。

2．数形结合在教学中的运用

数形结合渗透在中学数学中，数形结合的观点是通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映数量间的相互关系，因此数形结合使数和形相互启发、相互补充、相互印证。

初中代数中就有意识地渗透数形结合的思想和方法。如数轴就是把数和形结合在一起，数轴把点与数的对应关系揭示出来，这样数量关系常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。

如：相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是它本身即原点。如图：

绝对值表示这个数的点与原点的距离。利用数轴可以准确、快速地确定结论，在下图中，A点到原点的距离比B点到原点的距离大。

高中数学中，数和形结合的思想更是贯穿始终。如在讲函数概念、用文氏图表示集合的关系；用数轴表示定义域、值域等都体现了几何思想；在三角函数、复数、微积分等中，也利用数形结合，帮助我们更快、更好地解决问题，更容易、更轻松的突破重、难点。 在平面、空间解析几何……，体现了代数的思想。简而言之，代数教学中充满了几何的思想，几何教学中蕴涵着代数的思想。

3．数形结合在解题中的运用

作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面：一面是“形”的问题,引入直角坐标系，寻找其数量关系式,用“代数”来解决；另一面对代数问题,分析其几何意义,借助“形”的直观来解答。

（1） “数”中思“形”

例1. 如果实数满足方程，求的最大值。

解：不妨设点在圆上，圆心为,半径等于（如图）则是点与原点连线的斜率。当与⊙相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。

因为=，=，所以==，

所以==。

例2. 解不等式：

解: 设，即对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，此不等式的解在图象上就是抛物线位于直线上方的部分，故不等式的解集是。

例3.方程，的解分别是，求

解：求上方程的解比较困难，方程的解，可理解为函数与的交点（B点）横坐标，方程的解为函数与的交点（A点）的横坐标，函数与的图象关于直线对称， A、B关于直线对称，直线与的交点为C点，所以A、B点关于C点对称，C点横坐标是，所以

（2）“形”中觅“数”

例4.求方程的解的个数。

分析：此方程解个数即函数的图象与函数图象的交点个数。

因为,，所以在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。

例5.已知复数满足=π ,求的最大值。

解：要求的最大值，即求的最小值，由复数模的几何意义知即求复数对应的点到点和点的距离和的最小值。如图

∵ 满足=π

∴复数对应的复平面上的点的轨迹是以为端点，倾斜角为的射线。由图可知，最小值为==,故的最大值是=。

在数形转化过程中，必须遵循等价转换原则、数形互补原则。当然在教学渗透数形结合的思想时，应注意培养以下几点：

1. 观察图形，找出图形中蕴含的数量关系。

2. 正确绘制图形，反映图形中相应的数量关系。

3. 切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。

总而言之，“数无形不直观，形无数难入微” 。见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系，运用数形结合的思想解决数学问题。因此数形结合思想在中学数教学中起着举足轻重的作用。