提要 高中数学课程标准倡导的基本理念中，明确提出注重信息技术与数学课程内容的整合，信息技术与课程整合的含义是什么？ "整合" 如何实现？本文通过笔者在教学中的实践，从改变学生的学习方式、为学生提供"多元联系表示"的学习环境、为学生创设探究学习的情景三个方面谈了实现"整合"的一些做法及一些教学后的体会
主题词 TI图形计算器 课程整合
一、信息技术与高中数学课程整合的含义
信息技术与课程教学整合是一个包含着多种思想、多样实践的概念．华南师范大学教育技术研究所李克东教授认为：信息技术与课程整合是指在课程教学过程中把信息技术、信息资源、信息方法、人力资源和课程内容有机结合，共同完成课程教学任务的一种新型的教学方式．它的基本思想包括三个基本点：要在信息化环境中实施课程教学活动；对课程教学内容进行信息化处理后成为学习者的学习资源；利用信息加工工具让学生知识重构．信息技术与课程整合可以改善学生的学习方式，改善学习资源和学习环境，提高教学质量，也可以在一定程度上提高学生的信息素养，信息技术与课程整合的最高目标就是要有效地改善学生的学习．
基于上述认识，为了实现整合的最终目标，教师应当非常重视学生对数学知识的意义建构，通过创造性的教学设计，向学生提出有挑战性的学习任务，引导学生借助信息技术工具自己动手操作，通过积极主动的思考、同学之间的协作而提出自己的假设和猜想，并用信息技术工具进行试验和验证，从而奠定对数学知识的认识基础，最后再通过逻辑推理论证而获得对知识本质的认识．教师还应当利用信息技术，为学生提供探索和学习新知识、应用数学知识解决各种问题的强有力的支持．
TI图形计算器是基于教师的教和学生的学而专门设计的，它更符合学科教学的要求，更适应学生学习的要求，在TI手持技术的支持下，数学知识的多样化表达方式可以极大地拓展数学学习空间，有力地支持学生的学和教师的教，使高水平的、深层次的数学思维活动获得有力的支持，使学生自主探究式学习成为可能并得到落实，它随时随地的特点使学生更容易发挥其主体作用．
二、TI图形计算器与高中数学教学整合的实践
（一）、利用图形计算器改变教师教学方式，促使学生学习方式根本转变
在信息技术与数学课程的整合教学中，教师要改变"一支粉笔，一本书，从头讲到尾"的教学方式，应该借助信息技术工具，对教材内容进行重新设计，改变它的呈现方式，在教学活动中成为一个活动的组织者，辅导者，学生数学思维的促进者，才可能让学生的自主学习得到落实，才能发挥学生的潜能以及信息技术所带来的丰富的学习资源的作用
教学案例：一元二次不等式的解法
教学过程：
师：大家知道，函数图象是除函数解析式外的又一种表达形式，它能将自变量x与因变量y之间的依存关系(依存关系由函数解析式确定)直观地反映出来，是反映两个变量变化关系的"无字天书"，现在，请同学们画出函数y = 2x – 7的图象，然后跟踪图象上的点，观察这些点的坐标变化关系，特别注意纵坐标y>0、y=0和y<0时，点在图象上相对于x轴的位置和此时横坐标的大小，如图1．
生`1(实验、讨论、归纳后)： 函数y = 2x – 7所表示的直线与x轴交点的横坐标x=3.5是方程2x – 7 = 0的根，直线在x轴上方（或下方）的点的横坐标的集合x > 3.5(或x < 3.5)是不等式2x – 7 > 0(或2x – 7 < 0)的解集．
师：同学们可以再任意画出几个一次函数的图象，进行同样的观察，思考，归纳出"三个一次"（一次函数、一次方程、一次不等式）间的关系．
生2(实验、观察、讨论后)：一次函数所表示的直线与x轴交点的横坐标是对应的一元一次方程的根，直线在x轴上方或下方的点的横坐标的集合就是一元一次不等式的解集．师：总结的非常好!现在请同学们用类比的方法研究"三个二次"的关系．
(有了研究"三个一次"的成功体验，同学们热情高涨，学习兴趣调动了起来，马上开始积极的实验探索和讨论…)
生3:画出函数y＝x2－x－6的图象并跟踪图象上的点发现，方程x2－x－6 = 0的两根是x = 3或x = -2，即图象与x轴交点的横坐标，不等式x2－x－6 < 0的解集是 –2 < x < 3,不等式x2－x－6 > 0的解集是x < -2或x > 3，即图2和图3的阴影部分．所以，知道图象与x轴交点的坐标，就可以知道对应二次不等式的解集和二次方程的根．
生4：画图发现，二次函数的图象与x轴的位置关系有共有3种情形(图4)，不同的函数图象对应的方程的解和不等式的解集不相同，所以，应先根据二次方程的判别式
的值判断图象与x轴的交点情况(
>0时有两个不同的交点，<0时无交点，=0时有一个交点)，作出函数图象后，再根据图象写出不等式的解集．
师：观察仔细，讨论严谨！当二次函数中各项系数为字母时，一定要注意对的取值进行分类讨论，进而确定二次不等式的解集．事实上，求任意不等式f(x)>0的解集，实质就是画出y=f(x)的图象,然后根据函数图象，"看图说话"写出解集即可．大家不妨课后再举几个不等式的例子试试看．
刚才大家讨论了ax2 + bx + c >0 在a > 0时的解集，a < 0 时又如何求解？
生(众)：直接作出函数y = ax2 + bx + c (a<0)的图象求解或利用不等式性质转化为a > 0后求解．
课例总结：传统教材在处理方程、不等式与函数的关系时一般是出示一个具体的函数图象，并以列表的形式由教师或教科书直接给出两个变量的几组对应值，然后结合图象对数表进行分析，进而总结出三者间的关系，而对不同位置的二次函数图象对应的不等式解集的讨论，则直接按方程的判别式Δ>0，Δ=0，Δ<0就分为了三种情况．在这样的教学过程中，就存在着一系列的问题：表格中的这几组对应值如果换成另外几组对应值还能得到同样的结论吗? 是如何想到按方程的判别式Δ>0，Δ=0，Δ<0三种情况来讨论对应的不等式的解集的?正是因为这些问题的存在，就使学生对结论的正确性产生了怀疑，不能形成对知识认识的闭合回路，学习过程比较波动．利用图形计算器，教师可以将教材内容进行重新设计，改变教材内容的呈现方式，教师可以让学生在反复多次的实验中进行观察和思考，自己发现规律，自然地区分出应分别按判别式的三种情形去讨论二次不等式的解集，主动地建立起点－坐标－变量的对应值－解(或解集)的链接．在这样的认知环境中，操作、试验、猜想、发现等过程都变得具体而清晰，数学思维的目的性和思考的程序性大大增强，这就使得学生通过自主的、积极主动的数学思维而成功地建构了数学概念，解决数学问题的可能性也大大增加了．
（二）、利用图形计算器为学生提供"多元联系表示"的学习环境
"多元联系表示"的实质是对同一数学对象给出几种不同表示，从而使同一数学对象不同方面的特征得到显示．图形计算器以其丰富的功能能够对同一数学对象给出几种不同表示(数字、图象、符号等)，可以让学习者从不同侧面来认识数学对象，多角度分析思考数学对象，从而能够较好地把握数学对象的本质特征，促进思维的发展．
教学案例：函数应用举例
以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表(单位：身高cm,体重kg)
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身高 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
160 |
170 |
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体重 |
6.13 |
7.90 |
9.99 |
12.15 |
15.02 |
17.50 |
20.92 |
26.86 |
31.11 |
38.85 |
47.25 |
55.05 |
问：(1)、根据上表中各组对应的数据，试找一种函数，使它比较近似地反映该地未成年男性体重关于身高的函数关系，并写出这个函数的解析式
(2)、若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175cm，体重78kg，他的体重是否正常？
教学过程：
师：数学来源于生活，也应服务于生活，能否应用数学知识解决生活中的实际问题是数学素质的综合反映．请同学们思考：以上问题如何转化为数学问题处理？
生1(经过一段时间思考、讨论后)：表中数据反映的是两个变量身高x与体重y的变化关系，首先应该建立直角坐标系，画出数组（x,y）的对应点来观察这些点的变化规律．有了点的变化趋势，才能大概确定用什么函数来近似反映它．
师：分析得很好!生活中的数据大多是近似值，这给我们的作图带来极大的不便，大家可以用图形计算器描点画图,观察点的变化趋势，试着找一种函数来反映它．
生2：将表中数据输入图形计算器（图5），以身高为x轴，体重为y轴建立坐标系，得到散点图（图6），根据这些点的走向趋势，准备用二次函数或指数函数拟合
生3：尝试了几种函数后发现，用y=a bx拟合的情况如下（图7~8）：
用y=ax2+bx+c拟合的效果也不错（图9~10）：
但是，从两者的图象上很难看出它们的细微差别，不知怎样判断哪个函数拟合得更准确些？
师：从图形上看，的确不容易区别出两者拟合的优劣，请大家思考：用什么方法可以解决这个问题？(这是培养学生数学能力的好时机，教师要留给学生充足的时间思考并参与到学生中一起讨论)
生4：可以利用y1(x)和y2(x)的自变量x取C1列的值时的对应函数值与真实值C2的差的绝对值来比较两者接近程度的好坏，利用图形计算器可以算出|y1(c1)-c2|的对应数值和|y2(c1)-c2|的对应数值(分别为C3列和C4列的值)，通过数值比较，C3列的误差比C4列的误差小，由些可见，函数y1(x)的拟合效果要好一些，所以，函数解析式应为y1(x) = 2.004
1.020x
将x =175代入y1(x) = 2.0041.020x 中，得y = 63.98 ,由于78÷63.98≈1.22 > 1.2 ,所以，这个男生偏胖．（图11）
生5：用误差的绝对值作相互比较时，由于数值的大小关系并不总是"一边倒"，因此，通过某几行对应数值的比较就做出哪个函数预测得准，这样的的判断方法是不够科学的，我们认为，可以求出误差的绝对值之和或者误差的平方和(最小二乘估计法)，然后看和的大小，如果和小则认为预测效果好,利用图形计算器可求得用f(x)=a.bx与f(x)=ax2+bx+c求出的函数值与真实值的误差绝对值的和分别为6.32与8.20，误差的平方和分别为2.19与8．（图12）所以，函数f(x)=a.bx的预测效果好一些．
(生5的判断方法得到了大家的一致赞成)
师：数学家华罗庚先生说过："数缺形少直观,形缺数难入微"．想到用数的差别来比较两个函数图象拟合程度的优劣是一种非常好的思路．通过本例，大家要了解数学建模解决实际应用问题的基本方法和步骤，还应养成从不同侧面认识数学问题，多角度分析思考数学问题的习惯．
课例总结:在函数的应用过程中学习数学建模、提高分析问题解决问题的能力，激发学生应用数学的意识是高中数学学习的一个重要方面，本例题的解决需要用到符号、数据、图形、表格等多种表达方式，过去由于受信息技术条件的约束，这种多重联系的表述在教学中难于实现，图形计算器应用于教学中，使得这种多重联系表述在教学中得于实现，多重联系表述为学生营造了一个极具吸引力的学习情景，能够引发学生的思考，给学生提供了一个探索数学规律、发现数学本质的机会，这种信息技术支持下的多元联系与转化，比缺乏这种联系的教学更能培养学生的思维能力．我深深感到，要使学生数学学习的方式产生重大变革，要让学生的数学学习变得更加生动活泼而富有成效，信息技术与课程整合是必须的，为学生提供"多元联系表示"的学习环境是教师在信息技术与课程整合的教学中特别需要关注的一项工作.
（三）、利用图形计算器为学生创设探究学习的情景
荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：数学知识不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的．在信息技术与课程整合的教学中，教师要创设适当的情景引导学生主动探究、再创造以及建构知识．
教学案例：探究函数
的图像及性质
教学过程：
师：请同学们取a=1,b=1的值画图，根据函数图象说出函数性质
生1：画出函数图象后（图13），利用坐标跟踪功能可度量出函数图象在第一象限和第三象限的最低点的横坐标是1和-1，所以，函数的单调递增区间是( -∞ ,-1)和( 1 ,+∞)，单调递减区间是( -1 ,0) 和 ( 0 , 1) ，图像关于原点对称，是一个奇函数．
师：图象形状像"耐克"商标，很容易记忆．那么，这个"耐克函数"的图象及性质是否还可以深究？例如，图象在第一象限最低点的横坐标与a,b的取值有无关系？
(同学们的兴趣调动了起来，课堂气氛活跃……)
生2：取a=1,b=4（图14） ; a=2，b=4（图15） ; a=4,b=16（图16）三组数值画图并跟踪点的坐标，可以发现：图象在第一象限最低点的横坐标是
，所以猜想函数在a>0,b>0时的图象在第一象限最低点的横坐标也是．所以，它的性质是…(略)
师：猜想完全正确!以上性质可以作出证明，关于性质的证明我们另找时间完成．大家还有什么发现吗？
生3：这个函数的图象有些像初中学过的双曲线，而双曲线是有两条"渐近线"的，所以，我想它是不是也会有两条"渐近线"？取了大量的数值画图，汇率换算器检验后发现，除x=0 这条渐近线外，确实还有一条渐近线y=ax，(图17)但不知怎么证明？
师：证明需要用到极限的知识，我们不妨先放一放，这里，我们可以结合函数解析式作一些分析说明：对任意的一个x >0，总有
，所以，在第一象限的图像总在直线y=ax的上方，当x无限增大时，
的值趋近于0，从而的函数值从直线上方趋近于相应自变量时的y=ax的函数值，再根据函数图像关于原点对称的特点，可知整个函数图像以直线y=ax为渐近线．
生4：刚才大家讨论了函数在a>0 ,b>0时的图象和性质，a ，b都小于0的图象（图18），和a>0, b>0时的图象（图19）关于x 轴对称，性质是…(略)
生5：a , b异号时的图象（图20）有渐近线但无最值，性质是…(略)
师：本节课同学们对函数的图象及性质进行了全面的研究和归纳，同学们还有不少新发现，类比联想的研究方法和敢于实践创新的探索精神值得大家学习，现在我们列表归纳函数性质… (略)．
课例总结：图形计算器可以为学生创设探究学习的情景，更是学生发现知识、探究知识和表达观点的有力工具，学生通过自主研究和信息的相互交流，不断提出假设并进行验证直到解决问题，这样的教学方式不但提高了教学效果，还增强了学生学习数学的兴趣和成就感，培养了他们的创新意识和能力，可以想象，这在没有技术的教学中是难于实现的．
三、几点体会
（一）、在数学课程中使用信息技术，应当注意"必要性" 、"平衡性" 、"广泛性" 、"实践性" 、"实用性"的原则
（二）、要实现信息技术与数学教学的整合，教师必须更新教育观念，学习现代信息技术教育理论，自觉提高信息素养
（三）、"整合"的结果要做到"双赢"： 既要通过"整合"促进学生智能水平的提高，又要在课程教学的过程中传授信息技术，促进学生信息素养的提高
（四）、信息技术与课程整合不等同于ＣＡＩ（计算机辅助教学），两者在理念、作用、范畴、目的、实施等方面都有很大的差异
（五）、信息技术与课程整合不是一种固定的模式，而是一种观念．