用数学思维惯性解释数学思维现象

一、 数学思维惯性的存在与产生

数学思维的惯性，在数学的一些现象中确实存在着。下面举几个案例来加以说明。

案例一：每瓶香油10元，每买4瓶送一瓶。妈妈一次买了4瓶香油，每瓶香油合多少元？

案例说明：本题是选自四年级一次重要的测试卷上的题目。

正确答案应是：10×4÷（4+1）＝8（元）

错误答案是： 10－10×4÷（4+1）＝2（元）

试卷拟题意图：因考虑教科书中的原题是四步计算的题目，自认为难度大些，所以把问题变换了，即把四步计算的题目改为三步计算的题目了。

案例现状：抽检两所学校四年级的学生共计489人。选择错误答案的并且只是这一种错误的将近40％。

笔者曾对选择错误答案的部分学生进行了问话调查，大体上对错题的原因体现了两种情况：一是“一读题，就发现和原来做过的题一样，就按原来的题目做了，没有发现后面的问题变了。” 二是“没有认真读题，做错了。”

笔者对任课的部分教师也做了探讨性的调查，任课教师对错题的原因归结为两方面：一是“这类题是教科书中四步计算的题目，对四年级的学生来说，是有一定难度的，所以，给学生练习了很多此类型的题目，但只是按原题结构编拟的，没有变换形式。” 二是“学生太不认真了，没有把题读明白，‘每瓶香油合多少元？’和‘每瓶香油便宜多少元？’一样吗？”

案例分析：为了便于分析比较说明问题，我们把本试题的原题型显示出来，也就是人教版课程标准实验教材四年级数学上册48页7题：“每棵树苗16元，买3棵送1棵，一次买3棵，每棵便宜多少钱？”

从以上的案例现状，我们不难分析出以下三个方面：

1、 数学思维惯性的产生

试题中明摆着是问：“每瓶香油合多少元？”可为什么有那么多的学生不回答？却偏偏要回答另外的问题：“每瓶香油便宜多少元？”呢？

从前面对教师的探讨性调查就可做出了答案：是因为老师让学生练习了很多同类题，并且都是求“便宜多少元？”的，给学生打下了深刻的烙印，留下了深刻的印象：学生见到“此类题”或是“此情境的题”，就会想到求“便宜多少元？”。学生的思维状态就这样确定了，也就是学生的思维惯性确定了。

2、数学思维惯性的存在

试题中的问题“每瓶香油合多少元？”难道学生看不见？不是的，是学生见到了和原来脑中存在的同类题，或是同情境题。根本就没有去看这个“所求问题”，而是见到题就按他原有的思维状态──求“便宜多少元？”去解题了。这就是数学思维惯性在起作用。这一点从对学生的调查得到了证实：“一读题，就发现和原来做过的题一样，……”。试想，如果学生知道怎样解题了，那他还去看、去想最后的问题吗？

3、“学生不认真读题”的说法，是不完全正确的

由前两点的叙述可知，说学生错题的原因是“不认真读题”是不完全正确的。实际上，学生已经认真读题了，是因为思维惯性的存在造成他没有读完题目，就具有了解题方案（当然是错的）真正的错因是数学思维惯性的存在。

案例二：用9、7、3组成的六个两位数有（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。

案例说明：（1）本题是选自一次重要的三年级数学测试卷上的题目。

正确答案是：97、93、79、73、39、37。

错误答案是：973、937、793、739、397、379。

（2）按教科书要求应是组三位数，由于校对版面时没有纠正过来，造成三年级学生做了二年级的题目。

案例现状：抽检两所学校三年级学生共计405人,选择错误答案的学生数在40%以上.

笔者也请两所学校的老师做了分析：一是：“出错的原因是，学生在三年级上册教材中都是用3个数字组成不同的三位数。试题中要求组成不同的两位数，打乱了学生的思维，造成审题不清而出错。”另一是：“错误原因主要是学生没有认真读题，只看见9、7、3三个数，误认为是组成三位数，导致与两位数相异，出现疏忽性错误。”

案例分析：三年级的学生用3个数字组成不同的三位数，已经练习得很熟练了。所以见到9、7、3三个数，并且是要组成数，不用细想，就去组三位数了。这是典型的思维惯性的作用导致的解题错误。

二、用数学思维惯性解释数学教学中的现象

有了数学思维惯性这一概念，可以帮助我们对数学教学中的一些现象进行归因分析，找出错误的原因。在数学教学中，学生因思维惯性出错的实例很多，下面从三个方面来解释说明。

1、计算题方面

在这里仅就进位加法和退位减法中出现的错误进行解释。

在进位加法中，有进位加法和连续进位加法，学生学习了进位加法，再学习连续进位加法。当学生学习了连续进位加法后，由于多数量题的较长时间的算题训练，就容易产生“连续进位”的思维惯性，出现不是连续进位的加法题，也按连续进位加法题计算的错误。

如： 4 2 8

　+ 7 4 6
　　

　1 2 7 4

式中的十位上不满十，不能向百位进位，但由于思维惯性，造成学生连续进位的错误。

在退位减法中，有退位减法和连续退位减法。当学生学习了连续退位减法后，就容易产生“连续退位”的思维惯性，造成不是连续退位的减法，也按连续退位的方法算的错误。

2、应用题方面

在应用题方面，因思维惯性出现的解题错误，大都是由强化解题训练造成的。传统的“归类”解应用题，就是使学生产生思维惯性的典型案例。即把应用题根据结构特点进行归类，有其特定的解题方法，教师教起来省心，学生解题省力。但由于结构相同，通过强化训练，学生自然容易产生思维惯性，看到题不用深思就能确定是哪一类，不用太多的思考就能解出此题。久而久之，学生的思维侧重点不在于分析思考题目，而在于区别类型，根据类型套用解题方法。但是如果题型有所变化，要么就是照老做法（思维惯性）解题，出现错误；要么就是套用哪类方法都不合适，导致不会解题，或是解题错误。前面在案例一中提到的“买4瓶香油送一瓶香油,……”的应用题，学生出错的原因，就是由于归类强化练习应用题，使学生产生思维惯性，造成解题错误。

3、几何题方面

几何题中的求积计算公式尤为重要。教师们从公式的推导、形成，到应用公式求积的指导，都很重视，尤其是应用公式求积的指导，很是具体。如，圆的面积公式：

圆的面积＝半径×半径×圆周率。指导的第一层次是：求圆的面积要用什么条件？（这是具体的、初步的）指导的第二层次是：如果圆的半径不知道，怎样求圆的面积？（这是综合的，就是知道直径或周长求圆的面积）

这样指导得很详细、很具体，经过一定时间和一定数量习题的练习，学生必然形成求积计算的“思维惯性”。即先找公式中要用的条件，再求积。但遇到特例就无从去想去思维。

如：已知正方形的面积是5平方厘米，求圆的面积。

这道题也是求圆的面积,按照学生形成的思维惯性,要求圆的面积,必须先求出圆的半径是多少,但凭小学数学的能力,求此题中圆的半径是求不出的。致使一道不难解决的问题就此受阻。

从以上实例分析可以看出，学生有些错题的原因，是有它的客观原因的，不能只怪学生不细心，不注意，不动脑。应找准错因，积极想办法，解决学生的出错原因。

三、数学思维惯性的防范与正向引导

前面已经叙述了数学思维惯性的产生、形成，以及给学生的思维带来的不良影响。其实数学思维惯性是“双刃剑”，前面只谈了它坏的一面，其实它还有好的一面。如在乘法口算中，300×40如何算得快？经过一定时间的练习，学生形成的思维惯性是：3×4＝12，再在12的后面添上3个0。很快算出积是12000。

因此，对于数学思维惯性，既要正向引导，更要注意防范。

1、加强变式教学，防止思维惯性的负面影响

从前面的案例分析得知，数学思维惯性的形成基础是某一单项思维的强化训练。因此，如果我们不需要这种思维惯性，那么就在它形成前增加变式练习，让学生出错，摔跟头，引起学生的有意注意。如前面谈到的连续退位减法和连续进位加法的教学，就可以在思维惯性形成前，增加非连续退位减法和非连续进位加法的练习，引起学生的有意注意，防止思维惯性的形成。

2、取消应用题的“归类”教学

把应用题进行“归类”编排，进行归类教学，具有明显的弱点。因此，新的课程标准实验教材，已经取消了对应用题归类编排，采用计算教学与解决问题教学有机结合，让学生在学习计算的同时，经历解决问题的过程，培养解决问题能力，形成应用意识。而不是再去死记“那类”或“这类”的“死”方法，和机械的解题程序。而是要结合现实情境提出问题，或是根据现实的问题寻找解决问题的途径。根据现实的问题和现实的条件去思考、去解决问题。

3、加强应用题的结构变换练习

在应用题教学中，充分调动学生思维的积极性，不断变换练习形式，如选择条件，提问题，编题等，使学生的思维方式不断变换，使学生意识到，只有认真动脑思考，才能很好地解决问题，有效地防范思维惯性的形成。