用研究性学习指导一节数学活动课

一、动课教学案例（人教版义务教育课程标准试验教科书七年级数学下册第120页数学活动）

1、探索二元一次方程组的图象解法

1.1　再认二元一次方程

1.1.1　提出问题，激发探究欲望

（多媒体显示两个方程：①x－y＝0 ②x＋y＝2）

师：请看大屏幕，这两个二元一次方程各有多少个解？你能把它们的一个解用平面直角坐标系中的点表示出来吗？请动手画一画.

（学生已经能够熟练找出二元一次方程的解，并且已经具备了平面直角坐标系的有关知识，这里教师提出一个新的问题，意在制造认知冲突，充分激发学生的探究欲望）

（全班同学认真的在坐标纸上描点，教师在各组间巡视，不时的对需要帮助的学生进行指导.不一会儿，就有不少学生举手了）

师：看来有不少学生已经找到了解决问题的办法，哪位同学愿意作“第一个吃螃蟹的人”？

生A：我先写出了方程的三个解，然后把x的值作为横坐标，把y的值作为纵坐标，就能够在平面直角坐标系中描出相应的点了，这样就可以用平面直角坐标系中的点来表示二元一次方程的解了.

师：你的想法很好，其他同学还有别的想法吗？

（老师刚说完，就有一名同学举手了.）

生B：我有一个疑问，按照A同学的作法，只能在平面直角坐标系中描出有限个点，而二元一次方程有无数个解，怎样才能把一个二元一次方程的解全部用平面直角坐标系中的点表示出来呢？

（一语道破天机！学生已经把活动的内容都替我想好了，真是妙不可言!）

师：你提出的问题很有价值！这正是我们这节课首先要研究的问题.请同学们多写出几个二元一次方程的解，再在平面直角坐标系中描出它们相应的点，观察你描出的点，你有什么发现？

（学生都很仔细的动手描点，那专注劲儿就不用说了！还有几个小组的学生在彼此交流自己的想法呢.）

1.1.2　大胆猜想，引导发现结论

师：好了，大家都已经画出了相关图形，现在就请你们把自己发现的规律说一说.

生C：我在平面直角坐标系中描出了方程x－y＝0的一部分解，并且过其中的两个点画了一条直线，我发现我描出的点都在同一条直线上，这条直线经过原点，而且平分第一、三象限的夹角.

生D：我觉得这条直线上所有点的坐标都是二元一次方程x－y＝0的解.

师：何以见得？

生D：我在这条直线上找了一个点（6，6），然后把x＝6，y＝6代入方程x－y＝0中，方程的左右两边的值相等.

师：除了坐标为整数的以外，还有吗？

生E：有,例如点（5.5，5.5）的坐标也满足方程x－y＝0.

师：你们还有其他的发现吗？

生F：我还发现以方程x－y＝0的解为坐标的点都在我画的这条直线上，例如，我取x＝4.5，y＝4.5，然后描出点（4.5，4.5），这个点恰好在所画的直线上.

师：好！大家通过自己(加重语气)动手描点、画直线，观察、探究出了一些规律，哪位同学能够把同学们的发现给予归纳？

生G：我认为以二元一次方程的解为坐标的点都在同一条直线上，而且这条直线上任意一点的坐标都是这个二元一次方程的解.

师：说的非常好！

（教师的话音未落，教室里已是一片掌声）

师：我们把刚才所描的点的全体叫做二元一次方程x－y＝0的图象，那么方程x－y＝0的图象会是什么呢？

生：直线！（众生齐答）

师：刚才同学们都是以方程x－y＝0为例来阐述的，对于方程x＋y＝2是否也有同样的结论呢？

生：有！（学生一起回答）

师：B同学，通过刚才的分析，你的疑惑解开了吗？

生B:老师，我明白了.既然二元一次方程的图象是直线，而直线上有无数个点，这些点的坐标都是二元一次方程的解，这样就把二元一次方程的无数个解都在平面直角坐标系中表示出来了.

1.1.3　应用结论，探索形成方法

师：二元一次方程的图象是直线，要快速的画出一个二元一次方程的图象，采取什么方法好呢？

（老师的问题一出，学生就七嘴八舌的说开了，教师微笑着倾听学生的争论……）

生H：只描一个点就行了.

生I：不是，要描两个点，因为两点确定一条直线.

（生I的话音刚落，生H就据理力争）

生H：只要描一个点，然后过原点画直线就行了.

生J：我不同意H同学的观点，我画出的方程x＋y＝2的图象就没有过原点.

师：看来大家还有华要说，就请你们在小组内进行讨论，究竟采取什么办法最好.

（学生在彼此交流着、讨论着，有些小组的学生还在争论……）

师：大家找到最好的办法了吗？

生K:我组认为最好描两个点，而且我们还认为画方程x－y＝0的图象时，最好描（0，0）和（1，1）这两点，因为计算简单；画方程x＋y＝2的图象时，最好描(0,2)和（2，0）这两点，因为这两个点在坐标轴上，描点方便.

师：你的解释太精彩了！这样看来，只要同学们多观察、多思考，就一定能发现有价值的可以推广的规律，说不定将来就要学习各位发现探究出来的知识呢！（学生高兴的笑了）经过刚才的探究，我们可以看出：二元一次方程的图象是直线，直线上有无数个点，而二元一次方程有无数个解，无数个解与无数个点，真是“天作之美”!请看大屏幕.

(电脑显示)

【新的数学课程标准强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验.在这个环节的活动中，执教者从学生已有的知识经验出发，让学生通过动手描点、画图、观察、讨论，自己推测可能得到的结论，从而培养学生直觉猜想的能力；同时，让学生进行交流、辩论，完善认知结构，让其经历前人发现数形结合这种数学思想方法的思维历程，增长了学生的智慧，培养了学生良好的思维品质.】

1.2　研究二元一次方程组的图象解法

1.2.1　动手实践，发现猜想

师：未来的科学家们，现在就请你们利用我们刚才发现的结论，在同一个平面直角坐标系中画出二元一次方程组中两个二元一次方程的图象，根据图象你能得出这个二元一次方程组的解吗？

（有了前面探究的经历，学生很快画好了图象，有几个学生主动拿着自己画好的图象在和老师交流）

师：看来，大家借助前面得到的结论已经画好了图象，就请同学们把各自的想法在小组内交流，我们看哪些小组把问题研究的最好.

（教师在各小组巡视，参与讨论，并指导有困难的学生进行观察、研究，学生最善于讨论，有些小组的学生还在争论呢！）

1.2.2　学术汇报，质疑答辩

（为了给学生充分表现的机会，教师组织学生进行研究汇报，在全班开展答辩活动，使学生在答辩中暴露思维，张扬个性，达到思维碰撞的目的.）

师：相信很多同学已经有了自己的见解，下面，学术汇报开始，各小组安排好汇报人员，下面听汇报的同学要认真思考，然后向汇报人员提出质疑，进行辩论.

（汇报人员可以把自己小组的研究成果向全班介绍，听汇报的同学可以向汇报人“发难”，太爽了！顿时教室内一片欢腾，同学们都跃跃欲试.这不，第2小组的同学抢先一步.）

生M（第二小组的一名同学）：我组观察图象后发现：二元一次方程2x＋y＝4的图象和x－y＝－1的图象相交于一点，经过我们认真分析，确认这个交点的坐标是（1，2），我们认为二元一次方程组的解就是，而且我组认为一个二元一次方程组的解就是其中两个二元一次方程的图象的交点坐标.下面请大家对我们组的结论提出质疑.

（汇报就这样结束了？未免太简单了吧！肯定会有人提出疑问！这不，有同学举手了.）

生N（第4小组的一位同学）：M同学，你怎么肯定就是方程组的解呢？

生M：我们把x＝1，y＝2分别代入方程2x＋y＝4和x－y＝－1中，发现这两个方程的左右两边的值相等，所以是方程组的解.

（学生对M同学的解释报以掌声，N同学也跟着拍起了巴掌.）

师：第2小组的汇报很精彩，他们已经发现了二元一次方程组的解与方程组中两个二元一次方程的图象间的关系.其他小组还有别的想法吗？

（大部分同学表示赞同，这时第5小组的同学却在窃窃私语，看来他们有话要说.）

生Q（第5小组的一名同学）：我们组同意M同学的发言，只是我们组还发现了找不到交点的情况.

（会有这样的事儿？真是一石激起千层浪！教师里鸦雀无声，学生等待着……）

生Q：我组对二元一次方程组中两个二元一次方程的图象进行了分析，发现它们的图象是平行的，没有交点，我们解方程组，它无解，我们讨论后认为图象没有交点，图象代表的二元一次方程没有公共解，方程组就无解.

师：太棒了！第5小组的同学很有创造性！让我们用掌声对Q同学的发言表示感谢！（掌声响起）其他小组可结合第5小组的发现课后去探索.

师：经过我们的集体合作，交流，发现二元一次方程组有唯一解的时候，我们所画的两条直线就相交，即有一个交点，请看大屏幕！（电脑显示）

方程组有唯一解，两条直线相交，交点的坐标就是二元一次方程组的解，真是珠联璧合！这就是数与形的美妙结合，在数学史上，最早发现这种美的是法国著名数学家笛卡儿.

（多媒体展示笛卡儿的照片及相关史料.）

【探究离不开问题，探究是在有效发现、解决问题的过程中的探究，因此探究性学习要侧重于学生自主学习和创造性学习.在这个活动环节，教师通过组织学生进行交流、答辩，让学生找到问题的答案，意在培养学生的合作意识和探究能力，从而提高学生的分析能力和学习能力.】

1.2.3　课外延伸

师：我们已经研究得出了如果两直线相交，那么这个交点的坐标就是这两条直线所代表的二元一次方程组的解；第5小组的同学还发现如果两条直线平行，那么这两条直线所代表的方程组就无解.那么，如果两条直线刚好重合，则这两条直线所代表的方程组的解又如何呢？请用方程组进行研究.

（作为活动的深化，提出类似的问题，有利于学生对活动的成果和获得的经验有更深的体会，使研究活动由课堂延伸到课外.）

2、研究新闻信息

2.1　观看新闻片断

1996年的统计资料显示，全世界每天平均有8000人死于与吸烟有关的疾病，我国吸烟者约3亿人，占世界吸烟人数的四分之一.比较一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1％.

（为使学生感受到“生活中处处有数学”，借助多媒体播放新闻片断，给学生提供相关资料，激发学生积极主动地捕捉生活中的数学信息，学有价值的数学.）

师：结合新闻内容，大家尽可能提出有关的数学问题，在小组内交流.

2.2　提出问题

生1：你能用表格反映新闻中的数据吗？

生2：全世界吸烟人数有多少？世界其他国家吸烟人数是多少？

生3：我国及世界其他国家一年中死于与吸烟有关的疾病的人数分别是多少？

师：刚才这些小组的同学提出了不少精彩的问题，哪些同学能解决这些问题呢？

（学生已经在各自小组内相互交流自己的想法.）

2.3　建立模型，解决问题

生4：我可以解决生1的问题.（生4在展台上展示自己制作的表格）

生5：我来回答生2的问题.因为我国的吸烟者约3亿人，占世界吸烟人数的四分之一，所以全世界的吸烟人数为12亿人，世界其他国家的吸烟人数为9亿人.

生6：我可以通过设未知数，把生4的表格进行补充.设我国一年中死于与吸烟有关的疾病的人数为x人，世界其他国家一年中死于与吸烟有关的疾病的人数为y人，则有下表：

再根据新闻中的其他信息我就可以列出二元一次方程组，

解这个方程组就可以解决生3的问题.

生7：生6的解答有问题，应该把365改成366，因为1996年是闰年，闰年是366天.

师:生7考虑问题很严密，值得大家学习！其他同学还有别的想法吗？

生8：我可以只设一个未知数，列一元一次方程来解决生3的问题.设我国一年中死于与吸烟有关的疾病的人数为x人，则世界其他国家一年中死于与吸烟有关的疾病的人数为（8000×366－x）人，这样就可以列一个一元一次方程：来解决生3的问题了.

师：同学们的想法都不错.通过计算我们发现了已知统计数据中隐含的更多的信息,借助生6列的表格,数量关系一目了然!那么,由计算结果你们有什么感想吗?

生9:吸烟有害健康.

生10:中学生不能吸烟,建议老师、家长也不要吸烟.

【学生自己提出的问题由学生自己解决，教师只是活动的组织者和参与者，这样既有利于锻炼、提高学生的数学建模能力，也有利于培养学生分析数据、解决问题的能力.同时，在解决问题的过程中,不失时机的对学生进行健康教育，体现了数学学科的教育功能.】

2.4　拓展应用

师：通过以上的研究，还能得到哪些数据？

生11：可以得到我国及世界其他国家一年中平均每天死于与吸烟有关的疾病的人数.

生12：可以得到全世界一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比.

师：很好！看来只要我们善于研究，就可以发现更多的隐含的信息.就请同学们在课后从报刊、图书、网络等再搜集一些资料，分析其中的数量关系，编成问题，看看能否用所学的数学知识解决.

（对学生的研究活动进行肯定，并鼓励学生搜集实际生活中的相关资料，尝试用数学知识解决，有利于学生对活动的经验体会得更深，对获得的方法理解得更透.）

3、回顾获得全程，畅谈获得心得

生13：通过今天的活动，我学会了画二元一次方程的图象.

生14：画一个二元一次方程的图象只需描两个点就可以了.

生15：我学会了用画图象的方法求二元一次方程组的解.

生16:我知道了数形结合的研究方法，还知道了这种方法最早是由法国数学家笛卡儿研究得到的.

生17：用表格反映数量关系简洁明了.

生18：现实生活中有许多问题可以用我们所学的数学知识来解决.

……

【对活动的过程进行回顾、反思，学生在反思的过程中进一步理解数学活动的价值及数学知识的实用价值，提高学生的动手能力和归纳、表达能力，并用数学的思想方法和思维方式分析、解决实际问题.】

二、对案例的分析与评价

由于已经学习了平面直角坐标系、二元一次方程组及一元一次方程的有关知识，这节活动课设计成研究性学习完全符合学生的认知水平，也是对常规课堂教学的一种发展和补充，使数学教学更加开放，更加具有活力，更能激发学生的探究精神和动手意识.结合本案例浅谈研究性学习指导活动课的教学价值.

1、常规教学的发展和补充

研究性学习体现了建构主义的教学观，与传统教学相比，建构主义认为学习要以自己的方式建构对事物的理解，不同的人看到事物的不同方面.在活动课中学生动手实践、讨论验证、探究交流；有不同的观点，通过争论与合作，学生了解到不同的观点和认识角度，从而更加全面的理解事物.本案例中有以下特征：

（1）到问题，鼓励学生敢说、敢疑、敢问、敢讨论，使课堂情意共鸣、信息传递与反馈、思维活跃的环境.

（2）问题拓展，给学生提供再发现，再创造的氛围；组织学生进行必要的讨论和交流，提倡思维无“禁区”，鼓励不同意见的争论，倡导课堂超市.

（3）在交流中寻求多向、多维的交往形式，增加师生、生生的多维有效活动.

2、培养研究意识和实践能力

学生的研究意识和能力的提高，不是通过老师的讲解或靠书籍上间接经验达成的，而更多的是通过自己的探究体验得来.开展活动课教学，在提高学生研究能力方面的价值无法估量.在这堂活动课中，按照“提出问题→研究问题→解决问题→拓展应用”为主线实施，使学生主动学习，体会到观察、猜想、验证等研究方法，而且这种解决问题的方法还可以用到其他领域.因此，从某种意义上来讲，活动课可能对学生将来所从事的科研工作起着潜移默化的影响，在解决问题的过程中碰到的坎坷经历，可以培养学生科学的态度和勇于探究的精神.

综上所述，用研究性学习指导活动课是传统教学方式的有益补充，对培养和发展学生的创造力、实践能力有着十分重要的作用，它是一种全新的理念，需要我们在教学实践中多加探索.