要让学生学会做数学

在过去的二十年中，数学的面貌发生了翻天覆地的变化。以信息社会和市场经济为基本形态的时代，全球经济一体化进程急剧加快，科学技术迅猛发展，人类社会高度社会化。所有这一切都有赖于定量化研究的学术性发展。现代数学已经或将要渗透到科学技术、经济生活和现实世界中，与人类生存息息相关的各个领域中，“量”的概念早已突破了“数”与“形”这一历史的局限性。“数”、“形”、“关系”、“可能性”、“数据处理”、“度量和科学观察”、“进行推理、演义和证明”、“形成观与各种自然现象、人类行为和社会体系的数学模型”等，是人们对客观世界进行数学把握的最基本反映。

从实现的手段上，数学作为一种普遍使用的技术，可以帮助人们在搜集、整理、描述、探索和创造中建立模型，研究模型，从而解决问题，作出判断，它为人们交流信息提供了一种简捷有效的手段。

这些变化是由于人们对“什么是数学”的认识发生了重大的变化。现在是人们把数学理解为“关于模式的科学”。在数学教学中，由真实事物或现象（现实原型）所抽象出来的数学概念、命题、问题和方法，由特殊上升到了一般，从而形成了“模式”。“模式”是指一定事物经过“程式化”的处置，而成为同类事物的典范。“程式化”是指当思维仅仅是思维对象时，我们把它称为“程式化”，“程式化”即模式制造。“程式”具有相对独立性，能反映一类问题的共同特性，而具有超越特殊对象的普遍意义；模式不从属于特定的事物或现象，也不再是为研究特殊的实际系统及其性态而设计的数学结构。

二、传统的数学教育思想

传统的数学教学是教给学生现成的数学。荷兰著名的数学家和数学教育家弗赖登塔尔认为，“关于数学，每个数学家都知道（至少无意识地人除了现成的数学以外，还存在一种作为活动的数学，但是这个事实几乎从不强调，非数学家更是从未意识到。”

何谓“现成的数学”？

弗氏说：“现代数学通常只作为一个现成的产品来分析，后面再附上一个形式的综合，结果就成为现成的数学。”也就是“将教的内容作为现成的产品加以分析，在教学过程中就将分析的结果以综合方式提供给学生。”“结果……数学就是根据预先建造好的演绎体系来教。”

“教给学生现成的数学，这种数学由数学家事先组合好，他们知道每个部分是如何配合的，其中每一部分的用处又是什么，但是对学生却没有介绍这些秘密的知识，因而在学生看来，所获得的只是一堆毫无意义的孤立的砖块。”他们并不了解“这些分析的砖块最终究竟建造什么样的大厦。”

“将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，其实就是作问题。这不可能包含真正的数学，留作问题的只是一种模仿的数学，虽然已经精心培育了一个世纪，但其最低水平就是将一般陈述中的参数代以特殊值或是至多思考一下理论的模式。”“面对现成的数学，学生唯一能做的事就是复制。所以要使学生活动，就必须以所谓的应用来补充，从理论上发展或简化，或是对一般参数作简单代入。” “这就是我们所谓的违反教学法的颠倒。唯一与教学法有关的要素──题材的分析被抛弃了；学生面对的只是分析的结果，或是看着知道结果的教师将被分析的内容再放在一起。”

以前，有很大一部分人把数学看成是处理数量、大小和形状及其相互关系的事实和步骤，掌握了这些事实和步骤就等于懂了数学。传统的数学教育工作集中于知识内容方面，人们根据大量的学科内容来规定学生应该了解什么，并且根据学生掌握的内容的多少来判定他掌握了什么知识。这种观点认为，学数学就是以某种连贯的顺序掌握一系列的事实和步骤，这些内容构成的数学的主体。而这些是不对的。

三、学数学就是“做数学”

现代数学教育理论认为──学数学就是“做数学”，人们越来越把“做数学”看作是一种社会性的相互合作的行为。

1、何谓“做数学”

那么什么叫做“做数学”呢？学习数学就意味着“做数学”。所谓“做数学”就是把注意力从传统的集中于数学内容方面转移到数学过程方面。亦即强调数学知识在人脑中形成过程和发展过程的教学。“做”，即制造、从事某种工作、活动的意思。“做数学”就是把数学教学视为数学活动的教学。所谓“活动”，就是在人与周围世界的相互作用中，人一起有意识、有目的的行为改变世界，以主体作用于客体的方式来实现的。活动由一系列动作构成，代表有机体与个人的整个技能。活动不仅指认知能力，还指意向能力。数学教学看作数学活动的教学，意指教学中应把学生作为认识的主体，让他们与周围的世界（包括教材、教师、同学以及客观的现实世界）发生作用，亲自动手去解决呈现在他们眼前的问题，并在这个过程中增长他们的才干，发展他们的个性。

“做数学”不仅要反映数学活动的结果──理论，而且还要反映得到这些理论的数学活动（如探索、猜测、鉴别、表达、解决、构造、讨论、反思、使用、调查、发展、预告、比较、分析、排序、抽象、符号化、一般化等）及具体的思维方式（模型设计、抽象化、最优化、逻辑分析、数据推断、符号运用等）。数学教学的任务就是帮助学生数据化。

2、“做数学”的特征

（1）、“做数学”意指在数学教学中，应把学生作为思维认识的主体。如果可能，每个人都应参与数学，亲自体验一下数学。参与数学在一定程度上就是积极地参与发现工作，并且在很大程度上是通过猜测来实现的。

（2）、知识是在有目的的活动中聚集、发现和产生，而不是将数学作为一个现成的产品，教条式的灌输给学生。这里强调的是发生，而不是强加于人。我们并不断言，信息式的知识没有价值。这些知识只有在有目的的活动中才是有用的，因而显示出其价值。在数学教学中，应坚持“做”比“知道”更深刻地掌握知识。

3、“做数学”的本质

玻利亚对“做数学”的本质说过这样一段话：“对于一名积极从事数学研究的数学家来说，数学有时就是一种猜测的游戏；在你证明一条数学定理之前必须先作猜测，在你深入细致完成证明之前，也必须先对证明的思想作出猜测。”因此“做数学”的实质是认知发现活

动，而不是吸纳性活动。”“做数学”的方法远非只是计算或演绎，还包括观察模式、验证猜想和评估结果。“做数学”的实质是把重点从“教”转向“学”，从教师的行为转向学生的活动，并且从感觉效应转向运动效应。

4、怎样“做数学”

所谓“做数学”就是从做中学，不仅要注意数学的内容方面，更要注意数学的过程方面。在数学教学中要注意：一、知识结构的建立、推广、发展的过程；二、数学概念、公式、定理、法则的提出过程，解题思路的探索过程，解题方法、规律的概括、发展过程，在过程中展开学生的思维，并加以正确的引导。

具体的讲，在概念教学时，或者从实际例子出发，经过分析逐步抽象出概念来，或者是通过所学概念，与学生认知结构中的某个适当概念，通过同化来学习概念。前者要经历辨别、分化、抽象、概括等心理过程，后者要体现新旧知识的相互作用与相互联系。不管采用哪种方式学习概念，分化都是必要的步骤。

在数学定理教学时，应当引导学生搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程，了解它们呢的用途、应用的范围，以及应用时应注意的问题。

对于基本技能的训练，也要有个过程，即由简单到复杂，由单一到综合，循序渐进地发展，并要随着学生对基础知识的理解不断加深，逐步提高基本技能的熟练程度。

对于能力的培养，特别注意使学生逐步学会怎样从实际例子和已知知识中发现和提出数学问题，怎样进行分析、综合、抽象、概括，怎样进行判断、推理和解决问题，使学生的能力逐步提高。

5、“做数学”的目的

“做数学”的目的最终是要让学生学会“数学化”。弗赖登塔尔认为，人们用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理和组织，以发现其规律，这个过程就是“数学化”。简言之，数学地组织现实世界的过程就是“数学化”。

弗氏特别指出，数学本身同样属于现实世界，因而在数学发展过程中，我们自然要面对数学自身的“数学化”。 数学教育中的“数学化”是一种由现实问题到数学问题，由具体问题到抽象概念的认识转化活动，是人类发现活动在数学领域里的具体表现。

现实数学教育中所说的“数学化”泛指学习者从一个具体的情景问题开始，到得到一个抽象数学概念的教育全过程。这里所说的数学概念是把所研究的数学问题的共同点门本质特征）抽出来，加以概括。

应当通过“数学化”的途径来进行数学的教与学。牢记弗氏的名言：“与其说是学习数学，还不如说是学习‘数学化’；与其说是学习公理系统，还不如说是学习‘公理化’；与其说是学习形式体系，还不如说是学习‘形式化’。”

伟大的教育家夸美纽斯有句名言：“教一个活动的最好方式是演示”，弗氏把这一思想进一步发展为“学一个活动的最好方式是实践”。这一提法的实质是把重点从教转向学，从教师的行为转向学生的活动，并从感觉效应转向运动效应。所以我们要让学生学会“做数学”。