"超预期思路"在数学解题教学中的价值透视

1　"预期思路"与"超预期思路"

就一般的解题教学而言，教师总是先由自己的解题活动达到对问题的总体认识与把握，这也往往被视为衡量教学能否高质量完成的一个先决条件。在此环节中，教师已经形成了一种或数种解题的预定思路。教学中，也就希望学生能够沿着这条预定思路顺利地解决问题，因为师生的这种和谐与默契常常被视为成功教学的一个重要标志。 由此，无论是问题启发引导的方式，还是解题程序的展开过程，抑或是时间的规划序列，都是据此组织设计的。我们不妨将教师的这种业已形成并希望在学生的后续解题活动过程中再现的思路称为 "预期思路"。与之对应，将学生解题中出现的偏离教师预设"航线"的思路称为"超预期思路"。

众所周知，学生的学习过程是自主建构知识 的过程。由于个人知识经验背景及潜能的差异，会 形成各具特色的具有个性特征的知识结构。因而， 对同一数学问题出现不同的心理表征、产生不同 的解题思路实属正常现象。甚至在一定程度上来 说，这种超出预期的思路是必要的，它常常成为创 造潜能得以发挥的动力源。从教学的角度来说，它 往往又是教学充满生命活力的"添加剂"。相反，一 切都按预期的思路进展，谁也逃不出"如来佛的手 掌心"，这种毫无悬念可言的解题教学能有多少活 力倒是值得怀疑的。

总体上来说，对待学生的超预期思路基本上存在两种教学方式：一是针对具体情况，因势利导，将其作为拓展解题途径的有利资源。但由于超预期思路往往具有一定的粗泛性、片面性、难以预测性，教师可能会担心教学的"低效率"。二是将其视为不和谐的"噪音"，想方设法加以消除，以便引导到预期的思路上来?但超预期思路有时又不乏精彩见解，或"奇思怪想"映衬下的首荡精神，处理不好，很容易挫伤学生的自尊心。显然，这里涉及到教学的机智问题，任何简单粗暴的处理方式都有违解题教学的精神。那么，超预期思路到底有多少可以利用的教学价值，在哪些方面存在着发展的余地和契机呢？

2　学生超预期思路的教学价值及处理机智

应该说，教师的预期思路反映了解题的一种匯率成功思路，就教学的经济性而言，正应是学生选择的解题途径。但从另一个角度分析，教师预期的思路以一种权威的姿态使解题教学始终在一个因循的圈子里徘徊，可能会压抑创新精神的张扬。相反，学生的超预期思路即便有时是错误的，却反映了学生的真实思维状态，至少可为教师提供许多不曾料到的信息资源。

2.1　捕捉独特性思维特征 建构灵活性知识结构

个体的知识结构是在主动参与的数学活动过程中自主建构的结果，而且随着认识的不断深化，逐渐得以丰富与发展。解题的主要目的之一正在于促成良好知识结构的形成。学生的超预期思路往往更能揭示当前认知发展中的独特状态，这种独特状态可能正是学生思维发生障碍的关键所在，也可能是对问题的片面或错误理解，或者是从另一个角度所作的创造性思考。无论哪种情况，都能使教师透析出解题背后所映衬的知识组织的质量和效率。注意捕捉学生的这种独特性思维特征，不失时机地加以点化，非常有利于学生建构、拓展灵活而宽厚的知识结构。

一般来说，学生知识结构的构建过程必须经历三个不可缺少的环节：（1)自主活动；（2）智力参与；（3）个人体验。学生的超预期思路正好体现了这三个环节的特征。教师要做的则是首先承认超预期思路的合理性，并创造机会使这些思路展示其本来的面目。如果学生的超预期思路是基于独特创造的精彩见解，那么很易得到教师的首肯，并作为一种解题的创新途径加以推广，其自身的价值也就顺理成章得以升华。但当超预期思路是一种错误理解或是一种暂时难辨真伪的模糊表征时，教师多半会流露出不耐烦的情绪，倾向于采用简单否定的处理方式。岂不知这样就失去了一次识别学生对知识理解、概括程度的绝好机会，也就丧失了引导学生进一步建构良好知识结构的机会。其实，错误或模糊的超预期思路正反映了学生当前的认识冲突，或知识迁移上的障碍所在，教师完全可以将其作为衡量学生发展状态的一个参照系，作为洞察、开发、利用学生发展潜能的有效工具。比如，学生对某个概念的概括水平，对某个定理的理解程度，对某些知识关系的把握状况等。根据反馈的这些情况，找出某些错误的"合理性"，及时沟通、点拨，激发学生的思维进人"不平衡"状态，在由冲突走向和谐的过程中，使学生认识上获得质的飞跃。由于找准了学生知识理解的一些症结所在，由此引发的一些思考，远比正面的反复强调来得深刻、有效，在此基础上进行的知识建构是能够灵活加以迁移的。

2.2　营造开放性教学环境发展高层次思维能力

镶嵌着明显个性特征的超预期思路汇集起来，可以组织成一个开放性的教学环境一个问题的标准答案可能只有一个，但思考途径却是多种多样的，解题教学应提倡这种多样性。每一个学生要发展创造性思维、批判性思维及反省性思维等高层次思维能力，他就应该从更多角度看问题，感受更多的问题情景。因此，让学生敞开心扉、各抒己见，将自己真实的解题思路及想法说出来，形成一个充满对话、交流甚至辩论、争执的开放性情景，完全有实施的必要和可能。别人的不同思路可能正是自己应该开发而尚未发现的盲点，而自己的思路也可能成为他人关注的焦点。由此看来，预期思路与超预期思路在学生的发展上并无轻重、缓急之分，他们的差异仅仅体现在教学的价值取向和教学环境的开放程度上。

开放的教学情景"重在参与"，参与的最大收益在于获得发展。解题中学生的高层次思维能力唯有在这种开放、宽松的自由和谐环境中方能有效获得。研究表明，富有创造特质的学生往往因教师不能理解、支持其思想而隐藏自己的观点和想法，从而使其创造性品质受挫。开放的情景本身就意蕴着对学生创造性思维的认可。而在学生各自提出自己的解题思路，毫无顾忌地彼此评价、沟通、判断，并对错误思路进行审查和纠正时，必然需要进行自主而积极的批判性思维。此外，与认识错误相伴随的思考，主要是逆向的、反思的，解题同伴达成某种程度的默契，自然也要反思自己的成功与失败，这无形中提高了自己的反省性思维能力。总之，在开放的教学环境中，每个学生都有机会展示思路，训练、发展高层次思维能力。

2.3　创造相关"过程知识"培养自主学习意识

教师在解题教学中常常产生这样的困惑：多次反复强调的范例性解题方法，学生却总也难以灵活的应用。调查表明：其根本原因在于，以模仿、诵记为主获得的解题方法，缺少"过程知识"的支撑，难以迁移到新情境中去。这里的过程知识是指个体在自己的解题活动中获得的一些只可意会、不可言传的潜在个性化的知识。其中既有成功的体会、也有失败的感受。由于这种过程知识融人了个体特定解题活动场景中的特定心理体验，对解题者本人而言是鲜活的、有生气的。超预期思路的可贵之处正在于蕴含着相关的过程知识。教学中要善加引导和利用，帮助学生恰当表征过程知识，使学生逐渐将不够精确的过程知识升华为知识网络的一部分。这要通过对学生的超预期思路进行分析和反思，指出其思路中的可圈可点之处，启发学生将那些难以说清的过程知识用一些特殊的符号，如概念图式、关系网、类比码等形象地表征出来，以丰富学生的解题"知识库"。

如果将学生产生超预期思路所获得的过程知识给以足够的重视和鼓励，学生会自然生成一种成就感、满足感，也就容易意识到：（1)解题应该就是自己的活动，自己调整认知心向，发掘和利用智慧潜能，大胆地作出猜想、再创造，只要是自己付出的，就应当是有所收获的，没有绝对意义上的解题失败者。（2)自己形成的解题思路，就应当有与之相应的"合理性解释"，敢于承担起为之辩护的责任，成为一个有主见的解决问题者。（3)解题同伴（包括教师）并无过人之处，大家不过是各自在自己所走的路上创造属于自己的过程知识。思路也许有优劣之分，但体验却没有多寡之别。自信与自尊不是靠别人的施舍与怜悯，而是在自己的自主活动中产生的。这些感受靠教师的言语启迪显得苍白无边，但要经过学生的亲身体验和感悟，则显得自然而然。对学生超预期思路的恰当展现，就能有效地形成主动学习的意识和自主判断的能力。

推崇解题中学生的超预期思路，并不是无原则的、不加区别地一味认同和放任，而应当根据具体情况进行艺术性处理，尽力使各种超预期思路所具有的价值体现出来。解题活动好比一个各自组织的混沌系统，超预期思路的展现会使活动成为一个"无序"的混乱状态，解题教学的机智化处理可以达到"有序"的境界。

参考文献

1小威廉姆E?多而，王红宇译．后现代课程观．北京：教育科学出版社，2000,9

2涂荣豹，宁连华．论数学活动的过程知识．数学教育学报．2002，11（2）．9一12