初中数学教材“去括号法则”的实验研究

关键词：去括号法则 分配律 试验

1 问题的提出

我国各种版本的初中数学教材[1]-[6]上都有 “去括号法则” 一节的教学内容。而学生在学习“去括号法则”时经常会出现不能正确使用法则解题的错误，虽然通过教师多次纠正但仍不能彻底矫正。“能不能用其它去括号的方法来代替这一法则呢？”笔者(本文的第一作者)在一次听课时萌发了这一思考。

那是2003年10月的一天，笔者到一个学校调研听课，内容为“去括号法则”。（教材：义务教育课程标准实验教材（北师大版））。教师讲完法则后出了一组练习题。坐在笔者旁边有三个学生在做练习：“去括号 -8（3a-2ab+4）”。他们分别出现了以下解题过程：

生1：-8(3a-2ab+4)= -3a+2ab-4；生2 ：-8(3a-2ab+4) = -83a+2ab-4 ；

生3 ：-8(3a-2ab+4)= --（24a-16ab+32）= -24a+16ab-32.

显然生1和生2的解都是错误的，而生3才正确。课后笔者问生1和生2， “你们为什要这样解？”，“你们解法的依据是什么？”他俩都说“我们是用去括号法则来解。根据去括号法则，括号前面是负号，应将括号和它前面的符号去掉，括号里面的各项改变符号即可”。生3说“去括号法则是在括号前只有负号时才能用，这里出现了-8，要用法则必须先变为括号前只有负号才行”。看来他们都是记住了法则的，但理解的深度不同。生1和生2只是表面上记住了法则而机械地套用，生3是真正理解了法则且正确地运用了法则解题，结果也正确，但解题长度增加了。而这触发了笔者的如下思考：由于去括号法则的理论依据是乘法分配律，能否不讲去括号法则，而只用乘法分配律直接去括号呢？如果这一想法成立，则既可以避免学生的上述错误，又可缩短解题长度,节约了学生的学习时间和减少了教材的篇幅。因此，它既对学生的学习有利而且对中数学教材的建设也很有价值。

后来在一次全国性的新课程试验研讨会上，本文第一作者跟南京师大马复教授（义务教育课程标准试验教科书北师大版数学实验教材主编）谈了我们的想法，马复教授很感兴趣。他建议我们进行实验，并要求将实验结果研究写成书面材料给他。于是我们于2004年在我区两个农村学校进行了这一问题的教学实验研究。

2 研究的过程与方法

2．1 实验研究对象

成都市黎明中学2007级七年级2、4两个实验班各48人，共96名学生（实验教师为本文第二作者）和成都市柏合中学初2007级七年级1、2、3三个班共140名学生。

2．2 研究过程与方法

我们采用的是对比实验研究和调查研究。整个研究分为两个阶段进行。第一阶段为对比实验研究；第二阶段为调查研究。

在对比实验研究阶段，我们在黎明中学两个班分别采用 “用去括号法则” 去括号和“用乘法分配律” 去括号的教学实验。前者我们称之为“对比班”，后者称之为“实验班”。在“对比班”则完全按课本上的内容和要求教学，并讲明去括号法则的依据是乘法分配律。“实验班”则不讲去括号法则，直接用乘法分配律去括号。对于形如“-（x-2y）”的情况，去括号时把括号前的符号看成“-1”再用分配律。在结束新课后我们编制了14道只涉及去括号内容的题对这两个班进行测试。目的是通过测试比较两种方法对学生解题正确率和解题速度两个方面所产生的影响。

在调查研究阶段，我们选择另一所完全按教材编写要求进行“去括号法则”教学的学校──成都市柏合中学进行测试。由于学生在学习去括号法则时已明确了法则的理论依据就是乘法分配律，因此学生对两种方法都了解。我们这次测试的目的是调查了解学生在学了“去括号法则”一段时间后到底愿意选用那种方法进行去括号。测试时间选在学生学完“去括号法则”结束2个月后，测试对象为该校初2007级七年级1、2、3三个班共140名学生。这次我们编制了10道涉及综合运用去括号内容的习题。

3、研究结果的统计分析

3 ．1 对比试验测试的统计分析

对“去括号法则”掌握的程度，我们根据学生作对题的个数分为成四类：

（1）作对试题1到3个题的学生为掌握较差（差）；（2）作对4 到7 个题的学生为基本掌握（中）；（3）作对8 到11 个题的学生为较好掌握（良）；（4）作对 12到14 个题的学生为熟练掌握（优）。

四类学生所占人数的百分比统计对比如下：

第一次测试不同类学生所用方法对比表（百分比）

用去括号法则所用时间为9到14分钟；用乘法分配律解题所用时间为7到10分钟。

由统计结果得，做对1到3个题（差）和4到7个题（中）两种程度的学生，实验班与对比班（均以9％比10％）差距不大，但做对8到11个题（良）和作对12到14个题（优）的两类学生，则实验班明显优于对比班。（37％比33％和49％比43％）。在解题的时间上，实验班最快的要比对比班快2分钟，而最慢的则更显出优势，实验班比对比班少用4分钟。与此可以看出，用乘法分配律去括号比用去括号法则去括号正确率高而且解题速度快。

3 ．2 调研测试情况的统计分析

在第二次调查测试中，对“去括号法则”主要了解学生选用去括号方法的情况。对于解题时是否选择用“去括号法则”还是用“分配律”，以如下方式区分:解答过程为两步，如：－a（m－n）= －（am－an）= － am ＋ an，视为应用“去括号法则”去括号；而解答过程只有一步，如：－a（m－n）=（－a）×m＋（－a）×（－n ），视为应用“分配律”去括号。测试后，我们找到这两种解题过程的学生问其解题思路,他们的回答与我们的设想基本一致。这次有140人参加调研测试，其中117人选择了乘法分配律 ，有23人选择了去括号法则。其扇形统计图如下：

统计图表明，即使学生学习了“去括号法则”，但到一定的时间后，都不愿意用去括号法则去括号（只有16％采用去括号法则），而绝大多数学生都不由自主地选择用乘法分配律去括号（占84％）。测试后我们与学生座谈时问，“为什么你们都要选用乘法分配律而不用去括号法则去括号？”学生们说：“用去括号法则去括号要两步才能算出，而用乘法分配律则一步就能得出结果，解题简单方便，适用快捷，特别是在综合运用时候用这种方法节省了很多时间，当然我们愿意用快的！”、“去括号实际上就是乘法分配律的应用，而分配律我们在小学就学过，在脑子里的印象很深，时间一长就只想到利用分配律”、 “用乘法分配律只需要运用有理数乘法运算的符号法则就可以了，而用去括号法则还要记住一套符号法则，久了容易混淆，因此我们不愿意用”。

由以上统计和学生调查可以看出，乘法分配律去括号明显优于去括号法则去括号。其主要原因主要有以下几个方面：（1）“去括号法则”，增加了记忆负担和出错的机会，容易出错，因此错误率高。而且去括号法则是在有理数运算符号法则的基础上又增加了一套新的符号规则，容易给学生记忆上造成困难和负担。对于不知所措学生来说，学习有理数运算的符号法则就已经是一个难点，再增加一套符号法则，容易给学生记忆上造成混乱，学习上造成困难，因此解题时容易出错；（2）“去括号法则”增加了学习时间和解题长度，降低了学习效率。因为，去括号法则表述的是括号前系数的绝对值为1时的特殊情况，而对于系数不为1时的还要利用分配律转化才能利用，因此，用去括号法则去括号，增加了解题长度。同时，这一内容的学习至少要两个课时才能完成，所以又延长了学生的学习时间，相应地降低了学习效率；（3）用乘法分配律去括号的学习是同化而非顺应，易于理解与掌握。因为，学生在小学已学习并熟练掌握了分配律，此前又具有有理数的乘法法则的知识，学习用分配律去括号时直接与学生已有数学认知结构中的分配律和有理数的乘法法则发生联系，通过新旧知识之间的相互作用就能直接纳入到原有的数学认知结构之中去，因此，学生学习时会感到自然，容易接受和理解；（4）用乘法分配律去括号是回归本质，返璞归真，而且既可减少学习时间，又能提高运算的正确率。去括号法则本质上是乘法分配律的应用，因而直接用乘法分配律去括号是回归到本质。用乘法分配律去括号时没有中间转化的环节，可直达结果，从而减少了出现错误的机会，提高运算的正确率。因此，用乘法分配律去括号，减少了解题长度，节省了学习时间，相应地提高了学习效率。

4 结论与建议

综合几方面的实验分析，我们认为，教材专门一节讲述“去括号法则”的意义不大，相反还浪费了学生的学习时间和精力（至少多出了两个课时的学习时间），人为地造成了学生的学习负担，而且也增加了教材的成本。实验表明：完全可以用乘法分配律取代去括号法则去括号！所以我们建议，初中数学教材的修订和编写时可以不讲去括号法则，直接用乘法分配律去括号。这样既可以避免学生去括号时少犯错误，减轻学习负担，提高学习效率，又可也节省学生的学习时间和减少了教材的篇幅，降低教材的成本。

参考文献：

[1] 数理化自学丛书 《代数》第一册[M]，上海人民出版社，1963年10月第一版.

[2] 人民教育出版社中学数学室编：初级中学课本 《代数》第一册[M]，人民教育出版社，1989年10月第二版.

[3] 人民教育出版社中学数学室编：九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第一册[M]，人民教育出版社，1993年10月第一版.

[4] 人民教育出版社中学数学室编：义务教育初中数学试验课本《代数》第一册，[M]人民教育出版社，1994年10月第一版.

[5] 马复主编：义务教育数学课程标准研制组 北京师范大学国家基础教育课程标准试验教材总编委会 组编?义务教育课程标准试验教科书《数学》七年级上册[M]，北京师范大学出版社，2003年4月第三版.

[6] 王建磐主编：义务教育课程标准试验教科书初中一年级（七年级）（上）《数学》[M]，华东师范大学出版社，2001年8月第一版.

附录：

第一次测试题

(1)                              (2)

(3)                         (4)

(5)                     (6)

(7)                         (8)

(9)                           (10)

(11)                (12)

(13)               (14)

第二次测试题

(1)                        (2)

(3)                        (4)

(5)                (6)

(7)                (8)

(9)            (10)