数学“探究式”课堂教学模式的构建与实践

一、 模式的框架

二、模式的特点

以“学生活动和问题研究”为中心,引导学生自主探究新知,弘扬学生人格主动精神,挖掘学生创新潜能,促进学生个性全面发展。

⒈该模式打破了传统应试教育课堂教学注重知识传授、文化继承的框框,立足于学生全员参与、全程参与、全身心投入的自主探究活动,重视知识的应用和提高学生的创新素质。

⒉该模式注重问题的发现、提出、分析和解决的过程,启发学生对新知识、新方法的发现和探究,使学生亲身体验研究数学的过程和方法,从而有效提高学生的科学素质。

三、操作程序

⒈创设问题情境,诱导学生发现、提出问题,激发探究欲望

所谓问题,是指学生迫切希望获得解答的关于教学内容或生活实际中的疑问,这种疑问主要表现为学生原有认知结构与新知识、新问题之间的矛盾与冲突,这些矛盾和冲突导致学生的原有认识平衡的失调,从而激发起学生产生新的同化与顺应的欲望,并由此产生新的平衡。

教师对教材进行剖析,找准探究性思维训练与教材内容之间的结合点,并使某些数学思想方法螎入情境之中,将那些枯燥、抽象的教学内容设计成若干有趣、诱人且易于接受的探究性问题,使学生在对这些问题的积极思维中去品尝探究的乐趣。创设问题情境的途径有:

⑴从现实生活或实际需要中诱发学生发现、提出问题。如学习“勾股定理”时,提出:(用多媒体演示,如图1)①一电线杆高AB=12米,为稳住它,要在杆顶A处和地面上距杆脚B 5米的C处牵一条拉线,你能计算拉线的长吗?(还不能),AB的长确定吗?为什么?(确定,根据SAS)…;②为了在一条河的两岸建一座桥,必须测算两岸桥墩之间的距离AB,在河的一边选测点C,使∠ABC=90°,∠ACB=60°,量得BC=50米,你能算出AB的长吗? AB的长确定吗?为什么?这两个问题可使学生发现:直角三角形的三边有一种密切关系,这种关系是什么呢?学生迫不及待地想知道结果,探究欲很强.

⑵从旧知识中诱导学生发现,提出新问题。如讲《切割线定理》时,在复习相交弦定理后提出:两条弦除了相交还有哪些情形出现? 若把两弦移动,使延长后交点在圆外,有没有类似的结论?再把其中一条割线绕交点旋转变成圆的切线,结论还成立吗?这样设计符合学生的认识规律,不但会激起学生积极思维,促使学生观察、试验、猜测、估计,自己发现问题,找到答案,而且使学生进一步认识到数学知识之间的有机联系,形成良好的认识结构。

⑶来自于学生学习中出现的新问题。如在一次考试中有这样一道填空题:如图2,已知:∠1=∠2,为了使△ABC≌△ABD,必须补充一个条件,请补上这个条件.学生的答案多种多样,但有的成立,有的不成立.那么,共有多少种填法(边,角,周长,面积,相似,对称,外接圆、内切圆半径…)?其中哪些是成立的?哪些是不成立的?我们把它作为一个探究性问题进行教学,效果非常显著。

⒉创设思维情境,启导学生发现解决问题的思路和方法,培养学生创新思维能力

这是培养学生探究能力的课堂教学活动的中心环节,是指导学生运用学过的旧知识创造性地解决新问题的过程。这一阶段所要完成的任务是针对问题定向阶段提出的实质性问题,寻找解决问题的方案或办法。应充分体现学生的主体作用,使学生在探究活动中逐渐养成观察、实验、类比、归纳等习惯。教师要引导学生:⑴重温、回忆以前的知识与方法;⑵对数、式、图进行认真细致的观察;⑶动手实验、操作;⑷进行归纳与类比;⑸联想与构造;⑹充分交流讨论,发表各自的见解,提出猜想;⑺比较、修改、完善、分享各种想法;⑻确定最佳解决方案。特别是不拿现成的结论和方法给学生,而把课堂当作科学家发现定理的场所,引导学生通过“观察、分析、类比、猜想、联想、推理、判断”等,自己发现结论和方法。如讲《三角形内角和定理》的证明时,可这样启发:180°与学过的什么知识有关(平角,同旁内角,邻补角)?怎样把三个角加起来?在哪里制造平角?又怎样制造同旁内角互补?并组织学生展开讨论,实现思维交锋、智力杂交。

⒊释疑解惑,引导学生独立解决问题,培养逻辑推理能力

传统教学证明过程都是由教师完成,这不符合主体性原则。我们认为既然学生已经知道怎样解,就应让学生独立完成,加大学生的参与度。教师有针对性地进行个别指导,对上等生提出高要求:用多种方法完成,并提出新问题;对后进生给予帮助,使全体学生都体验到成功的欢乐,树立学习的信心。

⒋精讲总结,理性归纳,使学生形成新的认知结构

在问题解决后要引导学生对探究过程进行回顾反思,使成功的经验明朗化,并组织学生归纳出有关的数学思想方法和知识、技能方面的一般性结论,再通过教师精讲,揭示这些结论在整体中的关系,使所学知识系统化。如讲相交弦定理、切割线定理后,我先提出一个问题:我们得出的四个结论有何区别和联系?再让学生做以下题目:⊙O的半径为R,OP=d,过P点作直线交⊙O于A、B,则PA?PB=?这道题P可以在圆上、圆外、圆内,包含了相交弦定理、割线定理、切割线定理的所有情形,其结论又说明三个定理之间的密切联系,即可合并为一个定理──“圆幂定理”,从而将三个结论不仅在形式上而且在实质上实施了统一,使学生形成了良好的认知结构。

⒌精心设计变式分层练习,使学生在运用知识中形成技能,培养学生迁移与创新的能力

①题目具有阶梯性:第一部分是直接运用知识解答的题目;第二部分是变式训练题目,应灵活运用知识;第三部分是探究性、开放性题目,要求学生创造性地运用知识。②重视一题多解和一题多变的训练,进一步培养学生的创新思维能力。③设计原则:对学生具有强烈刺激的因素;具有启发学生进行多种思考及创新意识的因素;能产生解题的紧迫感;具有综合运用知识及技能;能产生一个个新问题;具有进行连续探讨的可能性;通过解题的过程及结果可发现问题的一般性、规律性;使解决的结果具有吸引学生的魅力,使学生尝到解题后的喜悦。

⒍创设情境,启导学生发现新问题

探究性活动始发于问题、推进于问题、发展于问题,不仅以问题为起点和线索,而且最终也应以问题的提出为归宿。在完成以上五步后,教师应进一步帮助学生把命题推广,引申出新的结论和新的问题,使学生的探究能力进一步提高。方法有:条件不变,有没有新的结论?逆命题是否成立?条件适当改变,结论是否改变?若改变,其变化规律是什么?为了得到一个新的结论,必须满足什么条件?

以上6步是一个基本的操作程序,不是固定不变的,应根据不同的教学内容和学生情况及教学环境条件的变化而灵活运用,步骤可增加或减少,但以学生活动和问题研究为中心的基本思想不能变!

四、教学案例:《三角形中位线定理教学设计》

⒈创设问题情境,诱导学生发现结论

⑴怎样测算操场中被一障碍物隔开的两点A、B的距离?小明测量的方法是:在AB外选一点C,连结AC、BC,取AC、BC的中点M、N。连结MN,量出MN=20m,这样能算出AB的长吗?AB与MN有何关系?经观察,你猜测AB与MN的关系是:①                       ②                       。

⑵MN这条线段既特殊又重要,我们把它叫做△ABC的中位线。即连结三角形两边                      点的线段叫三角形的                      。

⑶一个三角形有                      条中位线,画出图4的三角形的所有中位线,观察、测量发现:

( )∥( ),( )=( )；( )∥( ),( )= ( )；( )∥( ),( )= ( )。用语言叙述上述结论:三角形的中位线                      并且                       .

⑷再画出图2的△ABC的三条中线,它与中位线有何区别?

说明:⑴以上内容让学生按印发的学习提纲在课前完成。⑵三角形中位线定义的引入、定理的结论课本是直接给出的,这不符合过程性原则.我们①以“应用性问题”导入,揭示了数学知识在生产、生活中的广泛应用,强化学习动机,变“要我学”为“我要学”;②让学生通过实验操作、观察比较、估计猜测,自己发现结论,这可培养学生对数学的内在兴趣,让学生认识到数学不是少数天才创造的,而是经过努力一般人都可以发现的,数学来源于现实世界,而又是解决实际问题的有力工具,符合从“感性到理性”的认识规律。

⒉创设思维情境,启导学生发现证明结论的思路和方法

⑴检查课前自学情况。教师提问有关问题,学生回答,并用多媒体展示答案。

⑵教师指出:同学们观察发现的这些结论是否正确,还需严格证明。教师板书,学生在提纲上写已知、求证。

⑶启导全班学生思考、讨论证法,教师巡视与学生一起研究,收集信息,了解情况。

①本题与以前学过的哪些知识、方法有关?是什么关系?学生进行联想,回答。△ADE与△ABC有何关系?若过D作平行于BC的直线,发现什么(用多媒体演示)?②怎样证一条线段等于另一条的一半?学生回答:截(把长的平分)与补(把短的加倍)。经过探讨,学生不难发现以下三种证法:(过程略)

　　　　　　　证法㈠:利用相似三角形 　　　证法㈡: 　　　　　　证法㈢:

说明:定理的证明,不拿现成的方法给学生,而是创设思维情境,启导学生“联想”到学过的有关知识和方法,使新旧知识得到顺利同化,并引导学生展开讨论,实现思维交锋,智力杂交,这大大激发了学生的求知兴趣,让他们体验到成功的喜悦,数学思维能力在这一过程中得到了有效的发展。

⒊释疑解惑,引导学生独立完成证明

⑴要求A组同学选做一种证法,B组同学任选两种证法,C组同学三种证法都做,尖子生能发现新的证法或问题;⑵两人板演;⑶教师巡视,注意帮助学困生,并收集有关信息。

说明:传统教学的证明过程都是由教师完成,这不符合了主体性原则。既然学生已经知道怎样解,就应让学生独立完成,加大学生的参与度,对提高学生的独立表达能力大有好处。

⒋精讲总结,理性归纳

⑴教师引导学生分析定理的特点:题设:两个“中点”;结论:“平行”,“一半”。

⑵再指出:凡是与“中点”、“平行”、“线段倍分”有关的问题可考虑使用此定理。

说明:帮助学生揭示定理的本质特征,为灵活运用定理作准备。

⒌精心设计练习,进行变式训练

⑴引导学生观察图8,问:可发现哪些新的结论?让学生抢答,注意简单的结论先让A组或B组同学回答,不明显的结论让C组同学补充,给各类学生提供表现才能的机会,并及时给予表扬与鼓励。结论有:3个平行四边形;4个小三角形全等;小三角形的周长为原三角形的一半,面积为原三角形的四分之一。这些结论很重要,若学生没全部找出,可稍加提示。

⑵这个问题能否进行推广?若把△ABC改为四边形ABCD,又发现什么结论(见图9)。让学生抢答,原则同上。结论有:EFGH为平行四边行;EG与FH互相平分;EFGH的面积为ABCD的一半等。

⑶学生思考如何证明四边形EFGH为平行四边形?(另两个结论是否进行证明根据实际情况而定)

教师启导:①由条件“4边的中点”,可联想到什么知识?是否有三角形的中位线?

②EF是哪个三角形的中位线?FG、GH、HF呢?学生马上意识到要连“对角线”。

⑷抢答:让三个学生先后口述证明(证法不同)过程,教师板书或用多媒体演示。

⑸教师指出:三角形中位线定理的两个结论可选用一个或两个都用。

⑹变式训练:①若四边形ABCD是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形,则四边形EFGH分别是                      、                      、                      、                      、 ;

②为使四边形EFGH为平行四边形、矩形、菱形、正方形,则原四边形ABCD必须满足什么条件?教师用《几何画板》在计算机上拖动一个顶点让四边形进行变化,学生观察发现结论,教师问其理由;

③引导学生总结规律:四边形EFGH的形状是由什么决定的?(AC与BD,而与四边形ABCD的形状并没有直接联系)。

说明:①把课本练习3与例1两个孤立的问题结合在一起,体现了数学知识之间的联系,用联系、运动、变化的观点去研究各问题之间的转化,展示给学生一个动态的知识“生长”过程,促进学生新认知结构的形成与发展;②把它们改编成开放性问题,让学生有更广阔的思维空间,提供一个有利于群体交流的活动环境,让师生思维双向暴露,符合活动性原则;③再次体验研究数学的思想方法。

⒍课堂小结(以问题形式进行)

⑴教师引导:三角形中位线定理能否进行拓广?

⑵若把“中点”改为“三等分点”,如图10,D、F与E、G分别是△ABC边AB、AC的三等分点即AD=DF=FB,AE=EG=GC,则DE、FG、BC之间有何关系?

⑶若把三角形改为四边形,是否也有中位线?哪些四边形有中位线?有什么性质?

⑷请同学看提纲的作业补充思考题⑵(如图11),让学生思考,教师作启导:

①教师:M为BC的中点可联想到哪些知识?

学生:三角形中位线、直角三角形斜边上的中线等;

②教师:有没有符合三角形中位线定理的条件?学生:没有,欠一个中点;

③教师:怎么办?学生:再取一个中点;

④教师:另一中点可取在哪一边上?学生:AB或AC上。

说明:采用两个思考题进行小结,打破传统小结方法。这是因为:⑴三角形中位线定理不难记,难的是如何创造性地应用;⑵把定理进行引伸,让学生余味未尽,带着问题回家,并为下节课研究“梯形中位线”做好铺垫,一举两得。

五、实践初步成效

将科学家的探究引入课堂,以类似科学探究的方式学习数学,学生不仅获得数学知识,同时还掌握科学方法,培养科学态度,在掌握“双基”的同时,创新精神和实践能力也得到很好的培养和发展。

⒈学生数学素质得到发展

有效提高了学生学习数学的兴趣和自信心,学生的“潜创造力”得到开发,形成了科学的学习策略和方法,创新素质明显提高。试验班学生在学习中能自主地探索新知识,善于一题多解,一题多变,举一反三,对开放性问题能突破思维定势,从不同角度进行大胆探索。试验班学生小论文十多篇获学校青少年科技创新大赛一二等奖,其中两篇分获全国中学生数学论文竞赛一二等奖,三篇分获县一二三等奖。

⒉课堂焕发生命活力

以前(课题研究之前)上课都是老师提问题,学生回答问题,很被动,现在课堂非常“热闹”,学生善于发现问题,勇于提出问题,并创造性地解决问题,各种新问题、新思路不断涌现,经常下课了还有许多学生紧追老师不放,问个不停,出呼意料的创造性想法常给老师予新的启迪,师与生、生与生之间合作性大大提高,真正实现教学相长。数学教学成了师生追求幸福的“天堂”。教师教得轻松,学生学得愉快,学生学习培养了“三不”精神:敢于向教师说“不”,敢于向课本说“不”,敢于向资料说“不”,勇于向困难、向权威挑战!学生在上课时可以自由讨论和发言,有什么想法都可以提出来,老师从不批评,课堂气氛宽松。火热的思考,活跃的思维,常常激发出创新的智慧火花! 课堂焕发生命活力。

⒊教育质量全面提高

试验班学生参加各种统考成绩名列全县前茅,有效地控制分化和溜生。他们不但数学成绩优异,而且还把学习能力、品质、方法迁移到其它学科,收到了全面提高的效应,对数学的浓厚兴趣呈现可持续性。三年多来,试验班学生参加全国数学竞赛15人次荣获全国一二等奖,获奖人数占全县近三分之一;参加2003年全国初中数学竞赛4人居省前50名内,其中1人以泉州市第1名、福建省第3名的优异成绩荣获“福建省池伯鼎数学奖学金”,获奖等级和人数位居全省前茅。

六、实践的认识与体会

⒈探究式教学“速度慢”但“效益高”

学习是认知结构的组织和再组织。学生有效学习的最终结果必然是在自己的头脑里构建富有成效的认知结构,这个结构具有稳定性、清晰性、可利用性。研究表明,大量的题型复制、繁难的习题求解演示和解题术的记忆与重复等活动并不能导致这三种特征的获得。因此,探究式教学关注的是学生参与学习活动的“质量”(深层次参与)而不是追求例习题的数量。必须彻底转变传统应试教育中的“多（题目多）、难（题目太繁、难）、快（讲课速度快）、死（题目死、方法死）”为“少、优、慢、活”。探究学习是较费时的,我们经常一节课只研究一个题目(进行一题多变和一题多解),甚至到下课了问题还没研究结束,但教学效果特别好,学生得到的是思想方法,是情感体验,是个性发展,学生会学,乐学,对数学知识理解深刻,独立性高,知识迁移能力强。一位著名的科学家曾经说过：“学校教给学生什么样的知识最有价值?那就是学生离开学校许多年之后,还留在学生大脑中的那一部分东西。”而学生探究能力的形成不会随着时间的流逝而消失,可谓终身受用。因此在教学中,作为教师本身,在先进教学理念的指导下,多关注学生的探究过程和方法,激发和爱护学生的探究热情,给予学生足够的探究时空,学生的探究能力定能得到大大提高。

⒉数学探究式教学是一种“微科研”

探究数学教学与数学科学探究既有联系又有区别。数学探究教学中促使学生知识增长的探究发现数学知识的思想、方法、规律和过程与数学家发现数学知识、定理的思想、方法、规律和过程基本相同,但不一定再现真实的数学理论的历史发展过程,因为历史中的数学理论是在当时的历史条件、文化背景、数学基础等条件下发展起来的。将人类历史文化背景赋予新的与之相对应的学生学习的文化背景,就可以得到教学中促使学生知识增长的探究过程.

⒊教师在探究式教学中的主导作用是“精心创设教学情境”

良好的教学情境具有动力功能、发展功能、育人功能,创设教学情境的途径有:创设问题情境,创设思维情境,创设探究情境,创设分层教学情境,创设和谐情境。良好的教学情境是学生有效探究的“催化剂”。

⒋探究式教学适应于所有年级的所有学生

⑴实施“探究式”教学是转化“后进生”的有效途径

实验之前,几乎所有参与老师都认为,探究式教学只适用于优等生,对后进生是绝对行不通的!经过实践我们发现,所有学生的心灵深处都有一种根深蒂固的需要──希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者, 后进生的探索欲望并不比优等生差。其实,许多后进生都是由于教师教学方法不当而对数学失去兴趣和自信而产生的。笔者所任教的实验班,采用探究式教学,由于有效激发学生对数学学习的内在兴趣,树立起学习数学的自信心,不但优秀率超过对照班,而且及格率也远远超过对照班,许多“后进生”还变为“优秀生”,有效防止分化和控制溜生。

⑵探究式教学适合于所有年级

起初,高初中毕业班的老师都不愿意(不敢)采用探究式教学,生怕影响中、高考,我们及时组织大家深入研讨,摆事实讲道理,形成共识:高初中毕业班课堂实施探究式教学,决不影响升学率,对其它学科的学习也大有帮助。实施探究式教学与升学并不矛盾,获得较高的升学率是探究式教学水到渠成的结果。探究式教学由于全面培养学生的基本素质,从而提高了学习效率,促进教学质量的全面提高。

⒌探究式教学具有层次性、差异性

不同基础、不同年级的学生探究问题的难度和教师指导的程度是不同的。学生有效的探究是指学生本身真实的内在活动、亲身感受和体验(感到自己是一个发现者、探究者,觉得自己在这个世界上有价值、有实力、有能力、有用处,对学习充满信心),而不是用所探究的问题的难度来衡量,这与科学家发明创造的衡量标准截然不同。探究式教学一般分为三个层次:基础层次──给出问题比较简单,对探究的主要步骤和思路给予比较明显的提示;中等层次──给出的问题具有一定的综合性和新颖性,探究步骤和思路给予简要的启示,给学生指明探究的方向;较高层次──创设情境让学生自己发现问题或给出的问题具有一定的开放性,对解题的思路给予“暗示”,给学生创造的时空,尊重学生的主体地位,对学生独特的想法不硬性加以干涉,师生相互讨论和诘难、相互启发和鼓舞,教师一方面为学生指明方向,同时又从学生身上吸取思想的活力和大胆的想法,真正实现“教学相长”。

⒍探究式教学有利于培养学生学习数学的兴趣和自信

兴趣是学习的源泉,但很多学生一般都对数学学习缺乏兴趣,甚至害怕数学,学习中难以形成愉快体验。究其原因是传统的教学方式过分注重结论及解题的方法和技巧,注重数学的严谨性、逻辑性,导致学生看不到数学被发现、创造的过程,从而对数学学习产生错觉和误解,认为数学只是一些枯燥的公式和定理的堆砌,学习就是记忆和模仿,未达到对知识的真正理解,主体性得不到体现,使学生对数学敬而远之,久而久之失去了对数学的兴趣和自信。探究式教学注重数学探究发现过程的教学,帮助学生像数学家一样“再创造数学”,使学生认识到数学不是由少数天才创造的,而是经过努力一般人都能发现的。教师不断为学生创设成功情境,使之在学习中不断获得成功,深信自己的智慧和力量.