在问题探索中发展学生思维

一、 教师在创设问题情境中的作用,是能针对不同的教学内容设计有目的性的问题

（一） 探求规律的问题

探求规律问题是新课标的重要内容，同时也是近几年中考的重要内容。这类问题不但能考查学生的知识掌握能力，更重要的能考查学生的思维能力。通过研究这类问题发现也有一定的规律。比如从特殊情况入手，经过仔细的观察，认真地分析，得出结论；比如通过图形的分割等方法，探求出规律。

问题1：观察下列各式你会发现什么规律：3×5=15，而15=4²-1；5×7=35，而35=6²-1；……，11×13=143，而143=12²-1，将你猜想到的规律用只含有一个字母的代数式表示出来。

析解：通过观察发现3和5是两个连续的奇数。而4恰好是3与5之间的偶数。并且其余各式也具有同样的规律，即两个连续奇数的积，等于它们中间所夹偶数的平方与1的差。用代数式表示为（2n-1）(2n+1)=4n²-1(n≥1的整数)

问题2：将一张长方形的纸对折，可以得到一条折痕。继续对折，每次对折的折痕与上次的折痕保持平行。连续对折6次后，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？

析解：

方法点拨：与数字有关的规律问题常常从特殊到一般，探究结论与序号的关系，从而使问题得到解决。

问题3：下面是用棋子摆成的“小屋子”摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要______枚棋子，摆3个需要______枚棋子。按照这样的方式继续摆下去。

（1） 摆10个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？

（2） 摆n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解决这个问题吗？

析解:：方法一： 列表转化为数字问题

方法二：从相邻两个图形的关系得出结论。即第2个比第1个多用6个，第2个所用棋子数为5+6个；第3个比第2个多用6个，因此第3个所用棋子数为5+6+6=5+6×2个；第4个比第3个多6个，因此第4个所用棋子数为5+6+6+6=5+6×3个；……第n个小屋子需用的棋子数为5+6（n-1）个。

方法三：拆图法。将小屋子按照结构上、下拆成两部分如下图

拆法二按照结构分内、外两部分如下图：

你还有别的拆法吗？试试看。

方法四：将小屋子的外围看成是五边形，再加上横的一条边，不难得出结论5n+(n-1)或5（n+1)-5+(n-1)或6（n+1)-7。你能解释每个式子的含义吗？

(二）应用类问题

问题4：将进货单价为40元的商品按50元售出时，一周内，能卖500件，如果该商品每涨价1元时，其销售量就减少10件，为了赚8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少件？

经过师生分析讨论，很快得出此营销问题的解决方案：设商品定价为（50+x），则每件商品得利润为[（50+x）-40]元，因每涨1元，其销售量会减少10件，则每件涨价x元时，其销售量就减少10x件，故销售量为（500-10x）件，为赚得8000元利润，则应有[（50+x）-40]（500-10）=8000，解得x₁=10，x₂=30；当x=10时，50+x=60，500-10x=400；当x=30时，50+x=80，500-10x=200.（均符合题意）

所以要想赚8000元，可使售价定为60元，则进货量为400件或售价定为80元，则进货量相应为200件.

本题到这应该可以结束了，可老师又提出了新的问题：本题的解决方案有两个，即方案一：售价定为60元，进货量为400件；方案二：售价定为80元，进货量为200件.假如你是该商品的经销者，你觉得哪个方案更好呢？

（旁白：为进一步培养学生数学应用的综合能力，在这里提出了这个问题，同时也起着激发学生学习兴趣、培养学生探索能力的作用.显然方案二好，因为方案二投资费用少，且进货量少，带来的其它费用也少）

生：（讨论）……

结果分成两派，竟各占一半（意外一）.

师：既然大家意见这么不一致，那么我们现在就这个问题展开辩论，看最终谁能获胜，现在请你们叙述各自的理由. 　　（旁白：以下称选择方案一的为甲方，选择方案二的为乙方）

甲方：我们认为应选择方案一，因为方案一价格低，消费者会更多的选择采用方案一的商家，从而促进销量的增加而增加利润.

乙方（立刻）：我们不同意，因为题目中的情境已经限定，这两种方案都将获得8000元，我们认为应选择方案二，因为方案二的进货量少，投入的资金成本低.

师：对，本题的定价与销售量题目中设定好，大家应在设定范围内讨论，乙方能从经营成本的角度考虑这个问题，有道理，很好.这一轮我认为是乙方胜！不知甲方如何看待？

（停顿，讨论.）

甲方：方案一虽然投入资金成本高一些，但方案一的价格低，消费者多，会促进本店其它商品的销售，带来综合效益的提高.

师：（意外二，鼓掌）很好，甲方同学能从商店的综合效益出发，提出了对这个问题的看法，大家是不是觉得很有道理！

（这一回主要是乙方的同学在讨论探究了……终于）

乙方：甲方的观点虽有一定道理，但方案二不仅投入的进货成本低，而且由于进货量少，从而带来其它费用如运输费、库存费等也少，这样可把节省下来的资金用于其它投资再产生新的利润，因此从综合效益看也是可取的；其二，从利润率来看，方案一的利润率为50%，方案二的利润率为100%，故我们坚持认为方案二好.

师：（意外三）好！乙方同学不仅从综合效益的角度坚持了他们的观点，而且用数学方法从另一个角度──—利润率来阐述他们的观点，相当好.你们说是不是该判断乙方获胜呢？不过，我相信甲方同学一定还有新的理由！

果然，一阵骚动、议论……

甲方：我们不同意他们获胜，方案一的短期效益可能不及方案二，但从长期效益来看消费者会以为采用方案一价格公道，而方案二利润率达100%，有暴利的嫌疑……

真是仁者见仁，智者见智，讨论已经超出了数学的范畴，同时我想双方都会从对方的观点中学到了什么，那就是辩证地看问题.

二、学生在问题探究中的作用，是一种宝贵的教学资源

与学生交流是我教学生涯中最有意思的事情。他们的表现有时会让你大吃一惊，完全出乎你的意料，例如李宇飞同学提的问题，恰好是我的下一个教学环节，但它由学生自己提出来，能取得其他同学的“共鸣”，对他们是一种激励、一种启发，更能引发学习探究的兴趣。再如“百万分之一有多大”一课还没上，有的学生竟然知到比毫米小的是“微米”，比微米小的是“纳米”，还知道“光年”是长度单位，而不是时间单位。有的学生甚至测量出了四季青的叶子厚大约1毫米……凡此种种，使我真不敢小瞧他们，能与他们共同思考、共同快乐、共同成长，是一件多么快乐的事情！

“课堂是什么？”“教育是什么？”课堂是学生生活的一个重要组成部分，是他们展现个性、表现自我的舞台，是他们人生发展的台阶。同时也是教师生命中的45分钟，是教师实现人生价值的地方，教育即生活。